集合

$$\begin{array}{rlrl}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\mathrm{集}& & & \mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots \}\\ \mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{集}& & & \mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\cdots \}\\ \mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{集}& & & {\mathbb{N}}_{+}={\mathbb{Z}}_{+}=\{1,2,3,\cdots \}\end{array}$$$$\begin{array}{rlrl}& \mathrm{属}\mathrm{于}& & \in (\notin )\\ & \mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{于}& & \subset \subseteq (\not\subset )\\ & \mathrm{真}\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{于}& & ⊊⫋\end{array}$$

表示方法

• 枚举法
• 属性法
  • e.g. $\mathbb{Q}=\{{\displaystyle \frac{p}{q}}|p\in \mathbb{Z},q\in {\mathbb{N}}_{+},\mathrm{且}p,q\mathrm{互}\mathrm{质}\}$

有理数集

$$\begin{array}{rlrl}& \mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\mathrm{集}& & \mathbb{N}=\{x|x\in \mathbb{Z},x\ge 0\}\\ & \mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数}\mathrm{集}& & \mathbb{Q}=\{{\displaystyle \frac{p}{q}}|p\in \mathbb{Z},q\in {\mathbb{N}}_{+},\mathrm{且}p,q\mathrm{互}\mathrm{质}\}\end{array}$$

性质

1. 有理数集Q是一个数域
   • 对四则运算封闭（0不作分母）
     • 封闭性 运算的结果仍属于原先的数集
2. 有序性（一维独有的性质）
   • $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Q}\text{，表达式：}a<b,a=b,a>b\text{有且仅有一个成立。}$
3. 稠密性
   • 任意两个有理数间至少有一个有理数
     • 证明：$\mathrm{\forall }{a}_1<a_2\in \mathbb{Q},\mathrm{可}\mathrm{构}\mathrm{造}\mathrm{出}{a}_1<a_3={\displaystyle \frac{a_1+a_2}{2}}<a_2$ ->二分法
   • 任意两个有理数间有无穷多个有理数
     • 证明：$\mathrm{接}\mathrm{上}\mathrm{式},\mathrm{进}\mathrm{而}{a}_1<a_4={\displaystyle \frac{a_1+a_3}{2}}<a_2,\cdots$

• 有理数为有限小数（整数）或无限循环小数

• 有理数不连续，在数轴上存在无理点(->$\text{证明：}\sqrt{2}\text{是无理数}$)

  • *任意两个有理数间至少有一个无理数
  • *任意两个有理数间有无穷多个无理数（试证明）

实数集

定义

有理数与无理数的并集

性质

实数是数域

• 有序性
• 稠密性
• 连续性 实数的连续性使极限运算在实数中封闭

区间

实数集的一类特定子集

$$\begin{array}{rlrl}\mathrm{开}\mathrm{区}\mathrm{间}& & (a,b)& =\{x|a<x<b\}\\ \mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}& & [a,b]& =\{x|a\le x\le b\}\\ \mathrm{半}\mathrm{开}\mathrm{半}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}& & (a,b]& =\{x|a<x\le b\}\end{array}\}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{区}\mathrm{间}$$$$\begin{array}{rl}[a,+\mathrm{\infty })& =\{x|x\ge a\}\\ (-\mathrm{\infty },b)& =\{x|x<b\}\\ (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })& =\mathbb{R}\end{array}\}\mathrm{无}\mathrm{限}\mathrm{区}\mathrm{间}$$

邻域

一类特定的区间 $\mathrm{U}(x_0,\delta ):\mathrm{区}\mathrm{间}(x_0-\delta ,x_0+\delta )\mathrm{称}\mathrm{实}\mathrm{数}{x}_0\mathrm{的}\delta \mathrm{邻}\mathrm{域}，\mathrm{可}\mathrm{记}\mathrm{作}\mathrm{U}(x_0)。$$\mathring{\mathrm{U}}(x_0,\delta ):\mathrm{区}\mathrm{间}(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )\mathrm{称}\mathrm{实}\mathrm{数}{x}_0\mathrm{的}\mathrm{去}\mathrm{心}\delta \mathrm{邻}\mathrm{域}，\mathrm{可}\mathrm{记}\mathrm{作}\mathring{\mathrm{U}}(x_0)。$

$$\begin{array}{rlr}& \text{左（右）邻域}& (x_0-\delta ,x_0]\\ & \text{去心左（右）邻域}& (x_0-\delta ,x_0)\end{array}$$

不等式与数归

常用不等式

1. 绝对值不等式 $||x|-|y||\le |x+y|\le |x|+|y|$
2. 算术－几何平均不等式（A-G不等式）AGH不等式 ${\displaystyle \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}\le \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}\le \sqrt{{\displaystyle \frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}}\le {\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}}$
3. Jordan 不等式 $\mathrm{若}0\le x\le {\displaystyle \frac{\pi }{2}},\mathrm{则}\sin x\ge {\displaystyle \frac{2}{\pi }}x$
4. 伯努利不等式 $\mathrm{若}x\ge -1,\mathrm{则}(1+x{)}^n\ge 1+nx\text{（用二项式展开证明）}$
5. 柯西－施瓦茨不等式 $$\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\cdot b_k\right)^2\le\left(\sum_{k=1}^{n} {a_k}^2\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^{n} {b_k}^2\right)$$ 常用不等式证明方法

• 比较法（作差作商）
• 凑公式
• 数学归纳法
• 放缩
  • $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}(1<k\in \mathbb{N})$
  • $\frac{1}{\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}()$

数集的界

定义

对非空实数集 $E\subset \mathbb{R}$

• 上界 $\mathrm{若}\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R}\text{，使得}\mathrm{\forall }x\in E\text{有}x\le M\text{，则称}E\text{是有上界的}$
  • $M\text{是}E\text{的一个上界}$
• 下界 $\mathrm{若}\mathrm{\exists }m\in \mathbb{R}\text{，使得}\mathrm{\forall }x\in E\text{有}x\le m\text{，则称}E\text{是有下界的}$
  • $m\text{是}E\text{的一个下界}$
• 有界 $E\text{既有上界也有下界}$
  • $\mathrm{\exists }\overline{M}>0\text{，使得}\mathrm{\forall }x\in E\text{，有}|x|\le \overline{M}\text{，}\overline{M}\text{是}E\text{的一个界}$

数集的界可以有无数个

如何证明没有上界？考察非命题

• $\mathrm{若}\mathrm{\forall }M\in \mathbf{R}，\mathrm{均}\mathrm{\exists }x\in \mathrm{E}，\mathrm{使}\mathrm{得}x>M，\mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{E}\mathrm{是}\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{上}\mathrm{界}\mathrm{的}。$
  • 证明 $\begin{array}{c}\mathrm{对}\mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{均}\mathrm{\exists }n=max\{0,[M]+1\}\in \mathbb{N},\mathrm{且}n>M,\hfill \\ \hfill \therefore \mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}\mathrm{集}\mathbb{N}\mathrm{无}\mathrm{上}\mathrm{界},\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{无}\mathrm{界}\mathrm{集}.\end{array}$

数集的确界

0是自然数集$\mathbb{N}$一个特殊的下界

• 0是它最大的下界
  • 0是自然数集$\mathbb{N}$的一个下界
  • 比0大的数都不是$\mathbb{N}$的下界

定义

对非空实数集$E\subset \mathbb{R}$

• 下确界 (infimum)
  • $\begin{array}{rl}& \mathrm{若}\mathrm{\exists }\alpha \in \mathbb{R},\mathrm{满}\mathrm{足}\\ & & (1)& & & \mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{有}x\ge \alpha & \\ & & (2)& & & \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{x}_{\epsilon }\in E,\mathrm{使}\mathrm{得}{x}_{\epsilon }<\alpha +\epsilon & \\ & \mathrm{则}\mathrm{称}\alpha \mathrm{是}E\mathrm{的}\mathrm{下}\mathrm{确}\mathrm{界}.\end{array}$
  • 记为 $\alpha =infE$
• 上确界 (supremum)
  • 记为 $supE$
• 上确界与下确界统称确界 确界存在定理 $\mathrm{非}\mathrm{空}\mathrm{实}\mathrm{数}\mathrm{集}\mathrm{E}\text{有上（下）界，则必有上（下）确界。}$（证明？戴德金分割原理定义无理数，进而得到确界存在定理）

此处存在空缺