$y^{(n)}=f(x)$ 型

积分一次就降阶一次，逐次积分可求通解$$y^{(n-1)}=\int f(x),\mathrm{d}x+C_1$$

$y^{″}=f(x,y^{\prime })$ 型

表达式不含 $y$ 令 $y^{\prime }=p(x)⟹y^{″}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}}$，可化为一阶方程，解出后代换即可

$$y^{″}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=f(x,p)$$

$y^{″}=f(y,y^{\prime })$ 型

表达式不含 $x$ 令 $y^{\prime }=p(y)⟹y^{″}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=p{\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}}$，可化为以 $y$ 为自变量的一阶方程

$$y^{″}=p{\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}}=f(y,p)$$

解出 $y=p(y)$ 后利用下式求出 $y$

$$y^{\prime }={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=p(y)⟹\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{p(y)}}=\int \mathrm{d}x$$