10.2 第二类曲面积分

双侧曲面

定义

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }\mathit{F}(x,y,z)\cdot \mathrm{d}\mathit{S}$$

物理意义

如果 $\mathit{F}(x,y,z)$ 代表空间某点的电场强度或磁场强度，则曲面积分表示单位时间内通过定向曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的电通量或磁通量

母线垂直于平面的柱面

如果 $\mathrm{\Sigma }$ 是母线平行于 $z$ 轴的定侧光滑柱面（$\mathrm{\Sigma }$ 在 $xOy$ 平面内的投影为光滑曲线），那么其法向量 $(A,B,C)$ 平行于 $xOy$ 平面，即 $C=0$，因此有

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$$

类似有

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=0\text{ 或 }{\iint }_{\mathrm{\Sigma }}Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x=0$$

与第一类曲面积分关系

第二类曲面积分总可以将曲面微元的法向量 (关于 $x,y,z$ 的函数) 单独拆分出来, 与 $\mathit{F}$ 点积, 形成第一类曲面积分的形式

$$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }\mathit{F}(x,y,z)\cdot \mathrm{d}\mathit{S}=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }\mathit{F}(x,y,z)\cdot {\mathit{n}}^0(x,y,z)\mathrm{d}S$$

或

$$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\hfill \\ \hfill =\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }[P(x,y,z)\cos \alpha +Q(x,y,z)\cos \beta +R(x,y,z)\cos \gamma ]\mathrm{d}S\end{array}$$

• 之后可以利用第一类曲面积分的方法做 (即: 合一投影法)

计算

一般参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\\ z=z(u,v),\end{array}(u,v)\in D$$

则曲面在参数为 $(u,v)$ 点处法向量为

$$(A,B,C)=(\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)})$$

若向量值函数在 $\mathrm{\Sigma }$ 上连续

$$\mathit{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathit{i}+Q(x,y,z)\mathit{j}+R(x,y,z)\mathit{k}$$$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\mathit{F}(x,y,z)\cdot \mathrm{d}\mathit{S}=\pm {\iint }_D(PA+QB+RC)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

同向合成计算法 分别向三个平面投影

$$\begin{array}{rl}& {\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ =& {\iint }_{D_{yz}}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+{\iint }_{D_{zx}}Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+{\iint }_{D_{xy}}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

合一投影法 (显式方程) 定侧光滑曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 为显式方程

$$z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$$

将 $x,y$ 视为参数

$$(A,B,C)=(-z_x,-z_y,1)$$$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm {\iint }_{D_{xy}}(-P{z}_x-Q{z}_y+R)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

同样也可以有在 $yOz,xOz$ 平面上的合一投影