8.8 二元泰勒公式与多元函数的极限

多元函数的极值

以二元函数为例 可以推广到多元函数

定义

设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内有定义, 若在此邻域内有

$$f(x,y)\le f(x_0,y_0)$$

则称函数 $f$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 处取得极大值 $f(x_0,y_0)$ 点 $P_0(x_0,y_0)$ 为函数 $f$ 的极大值点

同样地若

$$f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$$

有极小值和极小值点

二元函数极值必要条件

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处取得极值, 且函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微, 则

$$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$$

满足上式的点 $(x_0,y_0)$ 称为二元函数 $f$ 的驻点

• 二元函数的极值点存在于驻点或至少有一个偏导数不存在的点之中
• 驻点未必是极值点 (类比考虑一元函数 $y=x^3$)

二元函数极值的充分条件

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的邻域 $U(P_0)$ 内有连续的二阶偏导数, 且 $P_0(x_0,y_0)$ 是函数 $f(x,y)$ 的驻点

$$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0),$$$$H=AC-B^2$$

则:

1. 当 $H>0$ 时, $f(x_0,y_0)$ 是函数 $f$ 的极值 若 $A>0$, $f(x_0,y_0)$ 是极小值 若 $A<0$, $f(x_0,y_0)$ 是极大值
2. 当 $H<0$ 时, $f(x_0,y_0)$ 不是函数 $f$ 的极值
3. *当 $H=0$ 时, 有多种可能

二元函数区域内的最值问题

最值问题试求函数在其定义域内某个区域上的最大值最小值

• 可能在区域内部
• 可能在区域边界

需要求出

• 区域内部所有极值
• 边界 (曲线) 的最值

对以上值进行比较, 从而得到区域的最值

二元函数的泰勒公式

推导过程

设 $F(t)=f(x_0+t\mathrm{\Delta }x,y_0+t\mathrm{\Delta }y),t\in [0,1]$, $F(0)=f(x_0,y_0)$$F(1)=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)$

由一元函数泰勒公式

$$F(t)=F(0)+F^{\prime }(0)t+{\displaystyle \frac{1}{2!}}{F}^{″}(0)t^2+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}{F}^{(n)}(0)t^n+{\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}{F}^{(n+1)}(\theta t)t^{n+1},\theta \in (0,1)$$

取 $t=1$ 可以得到如下二元函数的泰勒公式定义

设二元函数 $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 的邻域 $U(P_0)$ 内有 $n+1$ 阶连续偏导数 则 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处的 $n$ 阶泰勒公式为

$$f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}{\left(\mathrm{\Delta }x{{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+\mathrm{\Delta }y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})}^{k}f\right|}_{(x_0,y_0)}+R_n$$

• 简记: $(\mathrm{\Delta }x{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+\mathrm{\Delta }y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})f=\mathrm{\Delta }x{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}+\mathrm{\Delta }y{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}$ 其中拉格朗日余项

$$R_n={\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}{\left(\mathrm{\Delta }x{{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+\mathrm{\Delta }y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})}^{n+1}f\right|}_{(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x,y_0+\theta \mathrm{\Delta }y)}(0<\theta <1)$$

佩亚诺余项

$$R_n=o({\rho }^n)(\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$$

一些常见项:

$$F^{\prime }(t)=\mathrm{\Delta }x{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}+\mathrm{\Delta }y{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}$$$$\begin{array}{rl}{F}^{″}(t)& =(\mathrm{\Delta }x{)}^2{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}+2\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}+(\mathrm{\Delta }y{)}^2{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}\\ & ={(\mathrm{\Delta }x{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+\mathrm{\Delta }y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})}^{2}f\end{array}$$

二元函数麦克劳林公式

二元泰勒公式取 $x_0=0,y_0=0$

$$f(x,y)=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}{\left(x{{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})}^{k}f\right|}_{(0,0)}+R_n$$

其中

$$R_n={\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}{\left(x{{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}})}^{n+1}f\right|}_{(\theta \mathrm{\Delta }x,\theta \mathrm{\Delta }y)}(0<\theta <1)$$

二元函数的拉格朗日中值定理

当上述公式中 $n=0$, 得到二元函数的拉格朗日中值定理

$$\begin{array}{c}f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)\hfill \\ \hfill =f_x(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x,y_0+\theta \mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x,y_0+\theta \mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }y(0<\theta <1)\end{array}$$

拟合曲线与最小二乘法