6.2 抽样检验

常用统计量的分布

正态分布

若随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立, 且 $X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)(i=1,2,\cdots ,n)$, 则

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i\sim N(\sum _{i=1}^n{a}_i{\mu }_i,\sum _{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }_i^2)$$

特别地, 当 $X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)(i=1,2,\cdots ,n)$,

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

• 均值的期望与方差

卡方分布 (正态总体的分布 $\sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$)

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立, 且均服从标准正态分布 $N(0,1)$, 则称统计量 ${\chi }^2={\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i^2}$ 服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布, 记为 ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)}$, 其概率密度为

$$f_{{\chi }^2}(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{n}{2}}\right)}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}{x}^{\frac{n}{2}-1},}& x>0,\\ 0,& x⩽0,\end{array}$$

其中 $\mathrm{\Gamma }(x)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t}$ Gamma函数

• $n=2$ 时, 为 $E\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

性质

1. 对于${\chi }^2={\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i^2,X_i\sim N(0,1),i=1,2,\cdots ,n}$,$$E({\chi }^2)=n,D({\chi }^2)=2n$$
2. 若 $X_1\sim {\chi }^2(n_1),X_2\sim {\chi }^2(n_2)$, 且两者相互独立, 则$$X_1+X_2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$$
3. 当 $n$ 很大时, ${\displaystyle {\chi }^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2}$ 近似服从正态分布 $N(n,2n)$
4. ${\chi }^2(n)$ 的上侧 $\alpha$ 分位数 ${\chi }_{\alpha }^2(n)(P({\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(n))=\alpha )$ 可查表

Gamma 函数的一些性质

$$\begin{array}{c}\mathrm{\Gamma }(1)=1\\ \mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }\\ \mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)\\ \mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!\\ \mathrm{\Gamma }(n+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{(2n)!\sqrt{\pi }}{n!4^n}}\end{array}$$

t 分布 $T\sim t(n)$

设 $X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$ 且 $X,Y$ 相互独立, 则称随机变量 $T={\displaystyle \frac{X}{\sqrt{{\displaystyle \frac{Y}{n}}}}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布 (又称为 student 分布), 记为 $T\sim t(n)$, 其概率密度为

$$f(t)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{n+1}{2}}\right)}{\sqrt{n\pi }\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{n}{2}}\right)}{(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}},-\mathrm{\infty }<t<+\mathrm{\infty }$$

性质

1. $t$ 分布的概率密度 $f(t)$ 为偶函数, 且当 $n\to +\mathrm{\infty }$ 时,

   $$f(t)\to \phi (t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}$$

   即当自由度 $n$ 充分大时, $t$ 分布近似服从标准正态分布

   当 $n>45$ 时, $t$ 分布可用标准正态分布近似

2. $t$ 分布的上侧 $\alpha$ 分位数 $t_{\alpha }(n)(P(T>t_{\alpha }(n))=\alpha )$ 可查附表, 且

   $$t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n)$$

F 分布 $F\sim F(m,n)$

设 $U\sim {\chi }^2(m),V\sim {\chi }^2(n)$ , 且 $U,V$ 相互独立, 则称随机变量 $F={\displaystyle \frac{U/m}{V/n}}$ 服从第一自由度为 $m$, 第二自由度为 $n$ 的 $F$ 分布, 记为 $F\sim F(m,n)$,

其概率密度为

$$f_F(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{m+n}{2}}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{m}{2}}\right)\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{n}{2}}\right)}{\left({\displaystyle \frac{m}{n}}\right)}^{\frac{m}{2}}{t}^{\frac{m}{2}-1}{(1+{\displaystyle \frac{m}{n}}t)}^{-\frac{m+n}{2}},& t>0,\\ 0,& t⩽0\end{array}$$

性质

1. 若 $F\sim F(m,n)$, 则 ${\displaystyle \frac{1}{F}}\sim F(n,m)$
2. $F(m,n)$ 的上侧 $\alpha$ 分位数 $F_{\alpha }(m,n)(P(F>F_{\alpha }(m,n))=\alpha )$ 可查附表, 且$$F_{1-\alpha }(m,n)=\frac{1}{F_{\alpha }(n,m)}$$

与 t 分布关系

$$t_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n)=F_{\alpha }(1,n)$$