10.4 Stokes 公式

定义

右手法则

约定符合右手法则: 设定侧曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的边界曲线为 $C$

• 右手四指握向与曲线 $C$ 定向一致
• 拇指方向与曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 定侧一致

设 $\mathrm{\Sigma }$ 是光滑或分片光滑的定侧曲面, 其边界 $C$ 为光滑或分段光滑的闭曲线 向量值函数

$$\mathit{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$

在 $\mathrm{\Sigma }$ 上具有一阶连续偏导数 则有公式

$${\oint }_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}({\displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}}-{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}}-{\displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+({\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中曲线 $C$ 的定向与曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的定侧符合右手法则

• Stokes 公式揭示了沿曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的曲面积分与沿其边界曲线 $C$ 的曲线积分之间的联系
• Green 公式的推广

行列式形式