5.3 中心极限定理

如果各随机变量都服从同一分布, 当总数越来越大, 它们的和与算术平均值的分布都趋近于正态分布

独立同分布的中心极限定理

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 为独立同分布的随机变量序列, $E(X_k)=\mu ,D(X_k)={\sigma }^2,k=1,2,\cdots ,n,\cdots$

记 ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k}$ 的标准化随机变量为

$$Y_n={\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k-n\mu }}{\sqrt{n}\sigma }}$$

则

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(Y_n\le y)\approx \mathit{\Phi }(y)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^y{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$$

Attention

即 $n\to \mathrm{\infty }$ 时, $Y_n\sim N(0,1)$ 或 ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{X}_k\sim N(n\mu ,n{\sigma }^2)}$

$$P(\sum _{k=1}^n{X}_k\le x)\approx \mathit{\Phi }\left({\displaystyle \frac{x-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }}\right)$$

De Moivre-Laplace 中心极限定理

随机变量 $Y_n\sim B(n,p),0<p<1,n=1,2,\cdots$

则

$$Y_n\sim N(np,np(1-p))\mathrm{或}{\displaystyle \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}}\sim N(0,1)$$

计算技巧

在应用标准正态分布查表时, 对不等式右侧要求的值进行相同的变换

Example

若 ${\displaystyle \frac{Y-400\times 0.8}{\sqrt{400\times 0.8\times 0.2}}}\sim N(0,1)$, 要求 $Y$ 不多于 340 的概率

$$P(Y\le 340)=P({\displaystyle \frac{Y-400\times 0.8}{\sqrt{400\times 0.8\times 0.2}}}\le {\displaystyle \frac{340-400\times 0.8}{\sqrt{400\times 0.8\times 0.2}}})=\mathit{\Phi }(2.5)...$$

用频率估计概率

$$\begin{array}{l}P\{|{\displaystyle \frac{{\eta }_n}{n}}-p|<\epsilon \}=P\{\left|{\displaystyle \frac{{\eta }_n-np}{n}}\right|<\epsilon \}\\ =P\{-\epsilon \sqrt{{\displaystyle \frac{n}{pq}}}<{\displaystyle \frac{{\eta }_n-np}{\sqrt{npq}}}<\epsilon \sqrt{{\displaystyle \frac{n}{pq}}}\}\\ \approx \mathrm{\Phi }\left(\epsilon \sqrt{{\displaystyle \frac{n}{pq}}}\right)-\mathrm{\Phi }(-\epsilon \sqrt{{\displaystyle \frac{n}{pq}}})=2\mathrm{\Phi }\left(\epsilon \sqrt{{\displaystyle \frac{n}{pq}}}\right)-1\end{array}$$