连续

定义

设函数$f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$

• 则称函数$f(x)$在$x_0$处连续
  • 称$x_0$是$f(x)$的连续点
• 否则称函数$f(x)$在$x_0$处间断
  • 称$x_0$是$f(x)$的间断点 即$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$

*增量定义 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义, 增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$, 若

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)]=0$$

则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续

（函数的变差$\le$自变量的变差） 若函数$f(x)$在$x_0$连续，则$f(x_0)=f(x_0+0)=f(x_0-0)$

定义（连续函数）

若函数$f$在开区间$I$上点点连续，则称$f$是$I$上的连续函数 记为$f\in C(I)$

连续函数运算

定理（四则运算）

若函数$f$和$g$在点$x_0$处连续 则四则运算后的$fg$在点$x_0$处均连续

定理（复合函数）

定理（反函数单调性）

若函数$f$在区间$I$上连续且严格单调增加（减少） 则反函数$f^{-1}$在区间$R(f)$上也连续且单调减少（增加）

定理（初等函数连续）

初等函数在定义域区间上连续

• 所有基本初等函数在定义域区间均连续
• 而初等函数是由有限个基本初等函数通过四则运算，复合运算得到
• 故只需要看定义域

左连续、右连续

定义

• 右连续
  • 设函数$f(x)$在$x_0$的右邻域内有定义，若$\underset{x\to x_0+}{lim}=f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$右连续
• 左连续
  • 类似

定理

函数连续$⟺$左右都连续

定理

若函数$f(x)$在闭区间$I$的内部点点连续，且在左端点处右连续，右端点处左连续 则$f(x)$是闭区间$I$上的连续函数

间断点

若函数$f(x)$在$x_0$连续，则$f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0)$ 若不满足，则$x_0$为间断点

分类

1. 第一类间断点
   • $f(x_0-0),f(x_0+0)$均存在
   1. 可去间断点
      • $f(x_0-0)=f(x_0+0)$
      • f(x_0)不存在或极限不等于f(x_0)，均可通过改变或补充定义f(x_0)的值，使f(x)连续
      • e.g. ${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\mathrm{在}x=0\mathrm{处}$
   2. 跳跃间断点
      • $f(x_0-0)\ne f(x_0+0)$
      • e.g. $\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathit{x}\mathrm{在}\mathit{x}\mathit{=}\mathit{0}\mathrm{处}$
2. 第二类间断点
   1. $f(x_0-0),f(x_0+0)$至少有一个不存在
      1. 无穷间断点
         • $f(x_0-0)$或$f(x_0+0)$趋于无穷
      2. 震荡间断点 e.g. $\mathrm{讨}\mathrm{论}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{性}f(x)=\{\begin{array}{l}|x{|}^{\alpha }{\displaystyle \frac{1}{x}},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$

闭区间上连续函数

函数的极限、连续等性质均为函数的局部性质，反应了函数在某点邻域中的性质

有界性定理

若函数$f\in C[a,b]$，则$f$在$[a,b]$上有界

• 证明

  • 反证法，设函数f在$[a,b]$上无界
  • 记$[a,b]=[a_1,b_1]$，二分有$[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}],[\frac{a_1+b_1}{2},b_1]$
  • 函数f在至少一个区间上无界，记为$[a_2,b_2]$
  • 有闭区间$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n],b_n-a_n=\frac{b-a}{2^{n-1}}\to 0$
  • 且函数f在所有的$[a_n,b_n]$上无界
  • 由闭区间套定理，
  • ……

• 若函数$f\in C(a,b]$，$f$未必有界

  • $f=\frac{1}{x}$

推论

• 若函数$f\in C(a,b]$，且$\underset{x\to a+}{lim}f(x)$存在，则$f$在$(a,b]$上有界
• 若函数$f\in C[a,+\mathrm{\infty })$，且$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$存在，则$f$在$[a,+\mathrm{\infty })$上有界
  • 证明 把定义的$(G,+\mathrm{\infty })$与$[a,G]$拼起来

最值定理

若函数$f\in C[a,b]$，则$f$在$[a,b]$上有最大、最小值 即$\mathrm{\exists }\xi ,\nu \in [a,b]$，使得$f(\xi )=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x),f(\nu )=\underset{x\in [a,b]}{min}f(x)$

• 证明
  • 反证法 由有界性定理，f有界，有上确界。假设取不到上确界，则能证有另一个上确界，矛盾

零点存在定理

若函数$f\in C[a,b]$，且$f(a)f(b)<0$， 则$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=0$

• 证明
  • 记$[a,b]=[a_1,b_1]$，不妨设$f(a_1)<0<f(a_2)$
  • 若$f(\frac{a_1+b_1}{2})=0$，成立
  • 否则二分法，通过闭区间套定理
  • ……
  • 由闭区间套定理$\mathrm{\exists }\xi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$
  • 由函数连续性$f(\xi )=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(b_n)=0$

介值定理

若函数$f\in C[a,b]$，且$f(a)\ne f(b)$， 则对$f(a)$与$f(b)$之间的任意常数$c$，$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=c$

• 证明
  • 可由零点存在定理推出（$0+c$）

推论

若函数$f$是闭区间的连续函数，则值域$R(f)$也是闭区间 设$M=maxf(x),m=minf(x)$，则$R(f)=[m,M]$

• 例
  • 若函数$f\in C[a,b]$，且$f(a)\le a,f(b)\ge b$，（或$f(a)\ge a,f(b)\le b$）
  • 则至少存在一点$\xi \in [a,b]$，使得$f(\xi )=\xi$（不动点）