数量积（内积）

对于 $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$，定义其数量积（内积）为

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

• 满足运算规律
  • 交换律 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$
  • 加法分配率
  • 数乘结合律
  • $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^2$
• 性质
  • 正定性
  • 对称性
  • 线性性

夹角

$\mathrm{\angle }AOB\in [0,\pi ]$ 为向量 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$ 的夹角，记为 $(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}})$

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos (\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}})$$$$\cos (\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}})=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}$$

内积不等式

$$|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}|\le |\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|$$

正交与平行

$(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}⟹\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$$(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}})=0\vee \pi ⟹\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$$\overrightarrow{0}$ 与任意向量垂直，也与任意向量平行

$$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}⟺\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$$

方向角与方向余弦

非零向量 $\overrightarrow{a}$ 与三个坐标轴的夹角 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为 $\overrightarrow{a}$ 的方向角，$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为方向余弦

• $\cos \alpha =\cos (\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{i}})={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{i}|}}={\displaystyle \frac{a_1}{|\overrightarrow{a}|}}$

单位化向量 ${\overrightarrow{a}}^0={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}}={\displaystyle \frac{(a_1,a_2,a_3)}{|\overrightarrow{a}|}}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$

方向余弦满足

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

^ab6dc4

投影

对非零向量 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{b}$${\overrightarrow{b}}_{\overrightarrow{a}}=|\overrightarrow{b}|\cos (\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}})$ 为 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 上的投影 ${\mathrm{proj}}_{\overrightarrow{a}}\overrightarrow{b}={\overrightarrow{b}}_{\overrightarrow{a}}\cdot {\overrightarrow{a}}^0$ 为 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 上的投影向量

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)=|\overrightarrow{a}|\cdot {\overrightarrow{b}}_{\overrightarrow{a}}$$

当 $\overrightarrow{a}$ 为单位向量 $\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{b}={\overrightarrow{b}}_{\overrightarrow{e}}$

向量积（外积）

生成一个正交于两个向量生成的空间的向量，这个向量落在原像的核空间里

对于 $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$，定义其向量积（外积）为

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}& =(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|)\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|\end{array}$$

定理

$$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \sin (\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}})$$

• $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ 的方向同时垂直于 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ，且 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ 按次序构成右手系

---

$$a\parallel b⟺\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=0$$

几何意义

以 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 为邻边构建的平行四边形面积

$$A=||\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}||$$

性质

1. 反交换律 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$
2. 数乘结合率 $(r\overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times (r\overrightarrow{b})=r(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$
3. 加法分配率
4. 不满足交换律
5. 不满足结合律
   • Jacob 恒等式 $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})+\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=0$

拉格朗日公式

$$\begin{array}{rl}(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}& =(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})& =(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}\end{array}$$

混合积

定义

$$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$$

• 几何意义：绝对值表示 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 张成的平行六面体的体积

坐标表示

$$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$$