隐函数的导数

对于隐函数方程$F(x,y)=0$，蕴含着隐函数$y=y(x)$（通常不可化约求出） 将方程化为恒等式$F(x,y(x))\equiv 0$ 方程两边对$x$求导（注意复合函数运算法则），对于$f(y)$形式的复合函数，由于$y$包含了$x$的形式，所以$(f(y){)}^{\prime }=(f(y(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(y)y^{\prime }(x)$

• 例如 $(y^2{)}^{\prime }=2y\cdot y^{\prime }(x)$ 得到$y^{\prime }(x)=F^{\prime }(x,y)$即为隐函数的导数方程 对于某一点$(x_0,y(x_0))$，代入该导数方程即可求出该点处的导数$y^{\prime }(x_0)$

参数方程表示的函数的导数

对于参数方程$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t),\\ y=\psi (t),\end{array}t\in I$，设$\varphi (t),\psi (t)$可导且$\varphi (t)\ne 0$ 此时${\varphi }^{\prime }(t)$定号，$x=\varphi (t)$严格单调，有反函数$t={\varphi }^{-1}(x)$ 代入$y=\psi (t)$，有$y=\psi ({\varphi }^{-1}(x))$$\therefore y^{\prime }={\psi }^{\prime }(t){({\varphi }^{-1}(x))}^{\prime }$ 由反函数的导数，${({\varphi }^{-1}(x))}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{{\varphi }^{\prime }(t)}}$ 故

$$y^{\prime }={\displaystyle \frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\varphi }^{\prime }(t)}}$$

极坐标方程的曲线的切线

设极坐标方程为$r=r(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$ 转化为参数方程$\{\begin{array}{l}x=r(\theta )\cos \theta ,\\ y=r(\theta )\sin \theta ,\end{array}\alpha \le \theta \le \beta ,$ 导数

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{y^{\prime }(\theta )}{x^{\prime }(\theta )}}={\displaystyle \frac{r^{\prime }(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r^{\prime }(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}$$