当 $x\to 0$（若 $f(x)\to 0$，以下 $x$ 均可替换为 $f(x)$）

• 第一个重要极限
  • $\sin x\sim x$
  • $\tan x\sim x$
  • $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

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• 第二个重要极限
  • $\ln (1+x)\sim x$
  • $e^x-1\sim x$
    • $a^x-1\sim x\ln a$
    • $x^x-1\sim x\ln x$
      • $x^x\sim 1$
    • $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$

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• 反函数的极限
  • $\arcsin x\sim x$
  • $\arctan x\sim x$

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• 泰勒公式求极限 ^3ac10e
  • $x-\sin x\sim \arcsin x-x\sim {\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3$
  • $\tan x-x\sim x-\arctan x\sim {\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3$
  • $\tan x-\sin x\sim {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3$
    • 也可化简 $=\tan x(1-\cos x)\sim x\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3$
  • $x-\ln (1+x)\sim e^x-1-x\sim {\displaystyle \frac{x^2}{2}}$
  • $1-{\cos }^{a}x\sim {\displaystyle \frac{a{x}^2}{2}}$

注意

${\displaystyle \frac{0+0}{0}}$ 型如果要使用等价无穷小替换，需要确保加号两边拆分后，两个极限都存在