1.2 概率

随机事件 $A$ 发生可能性大小的数值度量, 称为 $A$ 的概率 记为 $P(A)$

设 $E$ 是一个随机试验, $\mathit{\Omega }$ 是它的样本空间, 对于 $E$ 的每个事件 $A$ 赋予一个实数, 记为 $P(A)$, 若 $P(\cdot )$ 满足以下公理:

公理1 非负性 对于每一个事件 $A$, 有 $P(A)\ge 0$

公理2 规范性 对于必然事件 $\mathit{\Omega }$, 有 $P(\mathit{\Omega }\mathit{)}\mathit{=}\mathit{1}$

公理3 可列可加性 对于两两互不相容的事件 $A_1,\cdots ,A_n,\cdots$, 即 $A_i{A}_j=\varnothing ,i\ne j,i,j=1,2,\cdots$, 有

$$P\left(\bigcup _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}P(A_i)$$

则称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的概率

频率与概率

频率的定义

如果事件 $A$ 在 n 次重复试验中发生了 m 次, 则称比值 ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ 为在这 n 次重复试验中事件 A 发生的频率, 记为

$$f_n(A)=\frac{m}{n}$$

频率的性质

1. 对于任意事件 A, $0\le f_n(A)\le 1$
2. $f_n(\mathit{\Omega })=1$
3. 若事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 两两互不相容, 则$$f_n\left(\bigcup _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(A_i)$$

统计概率

设随机试验 A 在 n 次重复试验中发生了 m 次. 当 n 很大时, 频率 $f_n(A)={\displaystyle \frac{m}{n}}$ 稳定在某一数值 $p(0<p<1)$ 附近波动, 且随着次数增大, 波动幅度越来越小, 则称数值 p 为事件 A 的 (统计) 概率

古典概率

定义

满足以下条件:

• 样本空间包含有限个样本点, $\mathit{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_N\}$
• 每个样本点的发生是等可能的, $P({\omega }_1)=P({\omega }_2)=\cdots =P({\omega }_N)$

样本空间为必然事件, $P(\mathit{\Omega })=1$, 则有

$$P\{{\omega }_i\}=\frac{1}{N}$$

事件 $A=\{{\omega }_{i_1},{\omega }_{i_2},\cdots ,{\omega }_{i_M}\}$ 的概率为

$$P(A)=\frac{M}{N}=\frac{A\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{点}\mathrm{个}\mathrm{数}}{\mathit{\Omega }\mathrm{中}\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{总}\mathrm{数}}$$

几何概型

定义

满足以下条件:

• 样本空间中每个样本点与一个测度有限的几何区域中的点一一对应;
• 任意事件 $A$ 与区域 $S$ 的一个子区域 $G$ 对应, A 的概率 $P(A)$ 仅与 G 的测度成正比, 与 G 的形状与在 S 中的位置无关

$$P(A)=\frac{m(G)}{m(S)}$$

其中 $m(\cdot )$ 表示区域的测度

概率基本性质

性质1

$$P(\varnothing )=0$$

性质2 有限可加性

$n$ 个事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 满足 $A_i{A}_j=\varnothing$,

$$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$

性质3

对于任意事件,

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

性质4 单调不减性

对于任意两个事件 $A,B$, 若 $A\subset B$, 则有

$$P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)\ge P(A)$$

性质5 加法定理

对于任意两个事件 $A,B$,

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

一般地, 对于 $n$ 个事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$,

$$\begin{array}{c}P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{1\le i<j\le n}P(A_i{A}_j)+\hfill \\ \hfill \sum _{1\le i<j<k\le n}P(A_i{A}_j{A}_k)+\cdots +(-1{)}^{n-1}P(A_1{A}_2\cdots A_n)\end{array}$$

右侧共 $\sum _{k=1}^n{C}_k^n=2^n-1$ 项

性质6 事件差

$$P(B-A)=P(B)-P(AB)$$