8.7 多元微分学在几何中的应用

空间曲线的切线及法平面

空间曲线的切线: 割线的极限 空间曲线的法平面: 在切点处与切线 $L_T$ 垂直的平面

$$\mathit{\Gamma }:\{\begin{array}{ll}x& =x(t),\\ y& =y(t),\\ z& =z(t).\end{array}$$

在 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处: 切线方程

$${\displaystyle \frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}}={\displaystyle \frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}}={\displaystyle \frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}}$$

切向量

$$\mathit{\tau }=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))$$

Tip

向量

$$(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))\mathrm{d}t$$

与切向量共线 它表示三个分量沿着同一个方向对 $t$ 扰动

法平面方程

$$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$$

由隐函数确定的曲线

$$\mathit{\Gamma }:\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0.\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\mathrm{d}F=F_1\mathrm{d}x+F_2\mathrm{d}y+F_3\mathrm{d}z=0,\\ \mathrm{d}G=G_1\mathrm{d}x+G_2\mathrm{d}y+G_3\mathrm{d}z=0.\end{array}$$

通过上述关系式可以得到 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z$ 间的线性关系, 进而解出方向向量

空间曲面的切平面与法线

曲面 $F(x,y,z)=0$ 的在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 的切平面由所有过该点的切线组成 法向量

$$\mathit{n}=\mathrm{\nabla }F(M_0)=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))$$

法线方程和切平面方程容易通过法向量求得

空间曲面交线的切平面

空间曲线 $\mathit{\Gamma }$ 若为两个已知曲面 $S_1:F(x,y,z)=0,S_2:G(x,y,z)$ 的交线, 则它在 $M_0$ 处的切线落在两个曲面的切平面上, 所以它是切平面的交线, 方向垂直于两个切平面的法向量

$$\mathit{l}={\mathit{n}}_{S_1}\times {\mathit{n}}_{S_2}$$