7.3 区间估计

置信度 $1-\alpha$

单个正态总体参数的置信区间

单侧置信区间

$$P(\theta >{\hat{\theta }}_1)=1-\alpha \text{ 或 }P(\theta <{\hat{\theta }}_2)=1-\alpha$$$$({\hat{\theta }}_1,+\mathrm{\infty })\text{ 或 }(-\mathrm{\infty },{\hat{\theta }}_2)$$

• ${\hat{\theta }}_1$ 单侧置信下限
• ${\hat{\theta }}_2$ 单侧置信上限

均值 $\mu$ 的置信区间

1. 方差 ${\sigma }^2$ 已知

枢轴量

$$U={\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$$

置信区间 ($1-\alpha$)

$$(\overline{X}-u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X}+u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$$

2. 方差未知

枢轴量

用 $S=\sqrt{S^2}$ 代替均方差 $\sigma$

$$T=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

置信区间 ($1-\alpha$)

$$(\overline{X}-t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})$$

方差 ${\sigma }^2$ 的置信区间

1. 均值 $\mu$ 未知

枢轴量

$${\chi }^2={\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n-1)$$

置信区间 ($1-\alpha$)

$$(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)})$$

2. 均值 $\mu$ 已知

枢轴量

$${\chi }^2={\displaystyle \frac{1}{{\sigma }^2}}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2=\sum _{i=1}^n{\left({\displaystyle \frac{X_i-\mu }{\sigma }}\right)}^2\sim {\chi }^2(n)$$

置信区间 ($1-\alpha$)

$$(\frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-\mu )}^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n)},\frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-\mu )}^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)})$$

*两个正态总体参数的置信区间

考试范围

除了 $n=m,Z=X-Y$ 的配对情况, 其余都不考

均值差 ${\mu }_1-{\mu }_2$

非考点

1. ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 均已知

枢轴量

由 $\overline{X}-\overline{Y}\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,{\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{n_1}}+{\displaystyle \frac{{\sigma }_2^2}{n_2}})$,

$$U={\displaystyle \frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{{\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{n_1}}+{\displaystyle \frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}}}\sim N(0,1)$$

置信区间 ($1-\alpha$)

$$(\overline{X}-\overline{Y}-u_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}},\overline{X}-\overline{Y}+u_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}})$$

2. 方差均未知, 但 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$

枢轴量

参见6.3 正态总体的抽样分布

$$T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_W\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{n_1}}+{\displaystyle \frac{1}{n_2}}}}\sim t(n_1+n_2-2)$$

其中 $S_W=\sqrt{{\displaystyle \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}}$

置信区间 ($1-\alpha$)

$$(\overline{X}-\overline{Y}-t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)S_W\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}},\overline{X}-\overline{Y}+t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)S_W\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}})$$

3. $n_1=n_2$

枢轴量

由配对 $Z_i=X_i-Y_i\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

$$T=\frac{\overline{Z}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_z/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

置信区间 ($1-\alpha$)

$$(\overline{Z}-t_{\alpha /2}(n-1)S_z/\sqrt{n},\overline{Z}+t_{\alpha /2}(n-1)S_z/\sqrt{n})$$

非考点

*方差比 ${\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}}$

2. ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知

枢轴量

$$F=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}=\frac{S_1^2/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

置信区间 ($1-\alpha$)

$$(\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)},\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)})$$

2. ${\mu }_1,{\mu }_2$ 已知

枢轴量

$$F=\frac{{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-{\mu }_1)}^2}{{\sigma }_1^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{m}}{\displaystyle \frac{\sum _{j=1}^m{(Y_j-{\mu }_2)}^2}{{\sigma }_2^2}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{m}{n}}{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-{\mu }_1)}^2}{\sum _{j=1}^m{(Y_j-{\mu }_2)}^2}}}{{\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}}}}\sim F(n,m)$$

置信区间 ($1-\alpha$)

$$(\frac{\frac{m}{n}\cdot \frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-{\mu }_1)}^2}{\sum _{j=1}^m{(Y_j-{\mu }_2)}^2}}{F_{\frac{\alpha }{2}}(n,m)},\frac{\frac{m}{n}\cdot \frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-{\mu }_1)}^2}{\sum _{j=1}^m{(Y_j-{\mu }_2)}^2}}{F_{1-\frac{\alpha }{2}}(n,m)})$$