定理

设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，且满足

1. $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0,\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$；
2. $f(x)$ 与 $g(x)$ 在该去心邻域内可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$；
3. $\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=A$（$A$ 为常数，或为 $\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }$） 则有

$$\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=A$$

• 证明
  • ……
• 适用于 ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 型待定型
• 洛必达法则对单侧极限同样适用
• 定理条件 (1) 必须验证
• 对于条件 (2) 不成立的，即仅在该点处可导，而邻域内是否可导未知
  • 改用导数定义
• 需要适当变形，避免过于繁琐
  • 或与等价无穷小替换结合
• 若将法则中 $x\to x_0$ 改为 $x\to \mathrm{\infty },+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }$，其他条件不变，仍成立

若条件 (1) 改为 $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$，结论仍成立

• ${\displaystyle \frac{\mathrm{\forall }}{\mathrm{\infty }}}$ 型待定型
• $0\cdot \mathrm{\infty },\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },1^{\mathrm{\infty }},{\mathrm{\infty }}^0,0^0$ 型，可通过转化为 ${\displaystyle \frac{0}{0}},{\displaystyle \frac{\mathrm{\forall }}{\mathrm{\infty }}}$ 型后，再应用洛必达法则