使用 $\mathrm{\Delta }x$ 的线性函数来近似地替代函数的增量 $\mathrm{\Delta }y$

• 引入
  • $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$
  • 割线斜率 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$ 与切线斜率 $f^{\prime }(x)$ 之差，${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}-f^{\prime }(x_0)=\alpha (\mathrm{\Delta }x)$ 为一个函数
  • $\mathrm{\Delta }x\to 0,\alpha (\mathrm{\Delta }x)\to 0$
  • $\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+\alpha (\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x\sim f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$，剩余的部分为高阶无穷小
  • 故可用 $f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$ 近似代替

定义

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义，
若函数的变差具有微分形式：$\mathrm{\Delta }y=A\cdot \mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$，$A$ 为常数 则称函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可微， 称 $A\mathrm{\Delta }x$ 为函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分， 记为 $\mathrm{d}y{|}_{x=x_0}=\mathrm{d}f{|}_{x=x_0}=A\mathrm{\Delta }x$

• 微分独立于导数，自行定义
• 当函数可微，$\mathrm{d}y$ 与 $\mathrm{\Delta }y$ 为等价无穷小
• 且 $\mathrm{d}y$ 是 $\mathrm{\Delta }y$ 的主部，又称线性主部

定理

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 $⟺$ 函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且微分形式为 $\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$，即$$\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x$$

• 证明

  • $⟸$

• 函数可微与可导的等价性，仅对一元函数成立

• 若 $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{d}x$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的微分可记为 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x$，若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上点点可微，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上可微

  • 有 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x,x\in I$
  • 又有 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=f^{\prime }(x),x\in I$
    • 导数=“微商”
  • 由导数运算法则可得出微商运算法则

• 辨析

  • $\mathrm{d}{x}^2=\mathrm{d}x\cdot \mathrm{d}x\ne \mathrm{d}(x^2)=2x\mathrm{d}x$
  • ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}f(x^2)\ne f^{\prime }(x^2)$
    • 前者表示对 $x$ 求导，后者表示对 $x$ 求导

运用

近似计算

函数可微，则 $f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\approx f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$ 即

$$f(x)\approx L(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$$

• 称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 点附近的线性近似函数
• 将一个接近 $x_0$ 的数拆成 $x_0+\mathrm{\Delta }x$，并代入上式

误差估计