11.3 任意项级数敛散型的判别法

交错级数敛散型的判别法

各项正负相间的级数, 即形如

$$\pm \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n(a_n>0)$$

的级数为交错级数

Leibniz 判别法

若交错级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n}$ 满足：

• $0<a_{n+1}⩽a_n(n\in {\mathbf{Z}}^{+})$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$

则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n}$ 收敛, 且其余项级数满足 $|R_n|=|S-S_n|=\left|{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}{a}_k}\right|⩽a_{n+1}$

A-D 判别法

*A-D 判别法

若数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 满足下列两组条件之一, 则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n}$ 收敛：

• (Abel 判别法) $\left\{a_n\right\}$ 单调且有界, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 收敛
• (Dirichlet 判别法) $\left\{a_n\right\}$ 单调且趋于 $0$, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$ 的部分和数列 $\left\{{\displaystyle \sum _{k=1}^n{b}_k}\right\}$ 有界

绝对收敛与条件收敛

设 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 是任意项级数

定义

绝对收敛 若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|}$ 收敛，则称级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 绝对收敛

条件收敛 若级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|}$ 发散而 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛，则称级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 条件收敛

• 条件收敛的级数不满足加法交换律.

绝对收敛必收敛

若级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ 收敛，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 必收敛。

• 若级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 收敛，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ 未必收敛
• 若级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ 发散，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 未必发散

一些收敛性质

• 绝对收敛的级数交换其各项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且其和不变

• 若用比值法或根值法判定 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ 发散，则 $\sum \left|a_n\right|$ 不趋于 $0$

• 若用比值法或者根值法判定 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|$ 发散，则 $\sum a_n$ 必发散

• $\sum a_n$ 收敛，$\sum (-1{)}^n{a}_n$ 不一定收敛（反例：$\sum (-1{)}^n\frac{1}{n}$）

• 正项级数 $\sum a_n$ 收敛，$\sum (-1{)}^n{a}_n$ 一定收敛

• $\sum a_n$ 收敛，$\sum a_n^2$ 不一定收敛（反例：$\sum (-1{)}^n\frac{1}{\sqrt{n}}$）

• 正项级数 $\sum a_n$ 收敛，$\sum a_n^2$ 一定收敛

• $\sum a_n^2$ 收敛，$\sum a_n^3$ 一定收敛

• $\sum a_n$ 收敛，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n=0$ 不一定成立
  反例：

• 若 $\left\{a_n\right\}$ 单调递减，$\sum a_n$ 收敛，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{a}_n=0$ 一定成立

• $\sum a_n$ 收敛，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=1$，则 $\sum a_n{b}_n$ 不一定收敛（反例：$a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}},b_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}+1$）

• $\sum a_n$ 收敛，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b_n}{a_n}=1$，则 $\sum a_n{b}_n$ 不一定收敛（反例：$a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}},b_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$）

• $\sum |a_n|$ 收敛，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=1$，则 $\sum |a_n{b}_n|$ 一定收敛

• $\sum a_n$ 绝对收敛，$\sum (b_n-b_{n-1})$ 收敛，则 $\sum a_n{b}_n$ 绝对收敛

• $a_n>0$ 单调递减，$\sum (-1{)}^n{a}_n$ 发散，则 $\sum {\left(\frac{1}{a_n+1}\right)}^n$ 收敛

• 若级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 发散，则级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n$ 发散