2.1 随机变量及其分布函数

随机变量 (Random Variable)

设随机试验的样本空间是 $\mathit{\Omega }$, 若 $\mathrm{\forall }\omega \in \mathit{\Omega }$, 按⼀定的法则, 存在⼀个实数 $X(\omega )$ 与之对应, 则称 $\mathit{\Omega }$ 上的实值单值函数 $X(\omega )$ 为随机变量

为 $\mathit{\Omega }\to \mathbb{R}$ 的一个映射

• 定义域为样本空间
• 随机性: 可能取值不止一个, 试验前只知道所有可能取值, 但不知道具体哪一个
• 概率特性: 随机变量以一定概率取某个值或某些值

分类:

• 离散型
• 非离散型
  • 连续型

随机变量的分布函数

定义

设 $X$ 为一随机变量, 对于任意实数 $x$, 则 $X$ 的分布函数为:

$$F(x)=P(X\le x),-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

有时记作 $F_X(x)$

用分布函数计算 $X$ 落在 $(a,b]$ 内的概率:

$$P(a<X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a)=F(b)-F(a)$$

性质

• $F(x)$ 单调不减$$\mathrm{\forall }{x}_1<x_2,F(x_1)\le F(x_2)$$
• $0\le F(x)\le 1$, 且$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=1,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=0$$

用分布函数表示概率

$$P(X\le x_0)=F(x_0)$$$$\begin{array}{rl}P(X<x_0)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0_{+}}{lim}P(X\le x_0-\mathrm{\Delta }x)\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0_{+}}{lim}F(x_0-\mathrm{\Delta }x)\\ & =F(x_0-0)\end{array}$$$$P(X=x_0)=F(x_0)-F(x_0-0)$$$$P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$$