4.2 方差

方差的概念

设 $X$ 是一个随机变量，若 $E\{[X-E(X){]}^2\}$ 存在，则称其为 $X$ 的方差，记为 $D(X)$ 或 $Var(X)$，即

$$D(X)=E\{[X-E(X){]}^2\}$$

计算公式

$$D(X)=E\left(X^2\right)-[E(X){]}^2$$

离散型

$$D(X)=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{[x_i-E(X)]}^2{p}_i$$

• $P(X=x_i)=p_i,i=1,2,\cdots$

连续型

$$D(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[x-E(X){]}^{2}f(x)\mathrm{d}x$$

• $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度

运算性质

平方线性

$$D(aX+b)=a^{2}D(X)$$

常值函数的方差为零

$$D(C)=0$$

两方差相加

$$\begin{array}{rl}D(X\pm Y)& =D(X)+D(Y)\pm 2E((X-E(X))(Y-E(Y)))\\ & =D(X)+D(Y)\pm 2(E(XY)-E(X)E(Y))& =D(X)+D(Y)\pm 2\mathrm{cov}(X,Y)\end{array}$$

相互独立的随机变量相加

$$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$$

• 逆命题不成立
• 事实上, 对于任意随机变量, $D(X\pm Y)=D(X)\pm 2\mathrm{cov}(X,Y)+D(Y)$
• 当 $X,Y$ 独立, 则其不相关, 协方差为零

方差定义式与意义的扩展

设 $X$ 为一个方差存在的随机变量, 则对任意实数 $C$, 有

$$D(X)⩽E[(X-C{)}^2]$$

方差为零的充要条件

设 $X$ 为一个随机变量, $C=E(X)$ 为常数

$$D(X)=0⟺P(X=C)=1$$

• 即: $X$ 只可能落在 $E(X)=C$ 上

标准化随机变量

对比标准正态分布

2.3 连续型随机变量及其概率密度

对于存在 $E(X),D(X)>0$ 的任意随机变量 $X$, 有标准化随机变量

$$X^{\star }=\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}$$

• 期望为0 $E(X^{\ast })=0$
• 方差为1 $D(X^{\ast })=1$
• $X$ 线性组合 $Y=aX+b$, $X^{\ast }=Y^{\ast }$