曲线弧长

定义

设平面曲线 $C$ 的端点为 $A,B$，在其上任取点 $A=M_0,M_1,\cdots ,M_{n-1},M_n=B$，依次连接得内接折线 记 $|M_{i-1}{M}_i|$ 为线段 $M_{i-1}{M}_i$ 的长，$\lambda =\underset{1\le i\le n}{max}|M_{i-1}{M}_i|$ 若当 $\lambda \to 0$ 时（同时有 $n\to \mathrm{\infty }$），折线长 $\sum _{i=1}^n|M_{i-1}{M}_i|$ 的极限存在， 则称此极限为曲线 $C$ 的弧长，称 $C$ 可求长

弧长的微分

从某一点 $a$ 处出发的弧长 $s(x)$ 是 $x$ 的函数，$s(a)=0,s(b)$ 为曲线弧长 在自变量变化区间 $[x,x+\mathrm{\Delta }x]$ 上，可求弧长 $\mathrm{\Delta }s=s(x+\mathrm{\Delta }x)-s(x)$

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}$$$$\mathrm{d}s=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$$

称为弧长微分 若曲线由参数方程 $x=x(t),y=y(t),t\in [x,x+\mathrm{\Delta }x]$ 表示

$$\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2}=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$

曲率和曲率公式

描述弯曲程度

定义

若曲线 $C:y=f(x)$ 上的弧 $\widehat{M{M}^{\prime }}$ 的弧长为 $|\mathrm{\Delta }s|$， 而在该段弧上，其切线方向改变了 $|\mathrm{\Delta }\alpha |$， 则称 ${\displaystyle \frac{|\mathrm{\Delta }\alpha |}{|\mathrm{\Delta }s|}}$ 为弧 $\widehat{M{M}^{\prime }}$ 的平均曲率 若极限 $\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{|\mathrm{\Delta }\alpha |}{|\mathrm{\Delta }s|}}$ 存在，则称为曲线 $C$ 在点 $M$ 的曲率 记为 $K(M)=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{|\mathrm{\Delta }\alpha |}{|\mathrm{\Delta }s|}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}}$

曲率公式

对于一般曲线 $y=f(x)$，设 $f(x)\in D^2(a,b)$，切线斜率为 $y^{\prime }$ 切线与 $x$ 轴夹角 $\alpha =\arctan y^{\prime }$

$$\mathrm{d}\alpha ={\displaystyle \frac{y^{″}}{1+y^{\prime 2}}}\mathrm{d}x$$

得到曲率公式

$$K=\left|{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}s}}\right|=\left|{\displaystyle \frac{y^{″}}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}}\right|$$

参数方程的曲率

对于参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$， 由 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}},{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}}={\displaystyle \frac{y^{″}(t)x^{\prime }(t)-y^{\prime }(t)x^{″}(t)}{x^{\prime 3}(t)}}$ 代入公式即可

曲率圆

设曲线 $C$ 在点 $P$ 处的曲率 $K\ne 0$， 则称 $R={\displaystyle \frac{1}{K}}$ 为曲线 $C$ 在该点的曲率半径（$R$ 为圆的半径，$K_{\circ }={\displaystyle \frac{1}{R}}$） 过点 $P$ 可作曲线 $C$ 的法线，指向曲线的凹侧 称这一侧的，在法线上，且与点 $P$ 距离为 $R$ 的点 $O$ 为曲率中心 以点 $O$ 为圆心，$R$ 为半径的圆，称曲线 $C$ 在点 $P$ 的曲率圆

top=1;bottom=-1
left=-1.5;right=1.5
---
y=x^2
(y-0.5)^2+x^2=0.25|dashed