导数的定义

定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义， 记$\mathrm{\Delta }x=x-x_0,\mathrm{\Delta }y=f(x)-f(x_0)$，分别为自变量与函数的增量 若极限$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$存在 则称此极限为函数$y=f(x)$在$x_0$处的导数 记为$f^{\prime }(x_0)$或$y^{\prime }{|}_{x=x_0}$

设函数$f(x)$在开区间$(a,b)$上点点可导，则称其在$(a,b)$上可导 记为$f(x)\in D(a,b)$

• 当在$x_0$没有定义时，需要根据定义求导

基本初等函数的导数

切线与法线

由导数定义，函数$y=f(x)$在点$x_0$处的切线为$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

定义

函数$y=f(x)$的图像及切线均过点$(x_0,f(x_0))$， 把过该点且与切线相垂直的直线，称为$f(x)$在该点的法线

若$f^{\prime }(x)=lim=\mathrm{\infty }$ …… ……

导数无穷大

导数趋于无穷大，但函数仍可能为有界函数

• e.g. $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=0$ 处

单侧导数

定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的左邻域中有定义 若左极限$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$存在， 则称此极限为函数$y=f(x)$在$x_0$处的左导数，记为$f_{-}^{\prime }(x_0)$ 亦可定义右导数

定理

函数$f(x)$在$x_0$可导$⟺$函数$f(x)$在$x_0$处左右导数均存在且相等

• 注: 不可用右导数求右极限

可导与连续

定理

函数$f(x)$在$x_0$处可导，则在$x_0$处必连续 反之未必

• 证明
  • 由导数定义$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}$
  • 即$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}({\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}-f^{\prime }(x_0))=0$
  • 记${\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}-f^{\prime }(x_0)=\alpha (\mathrm{\Delta }x)$，其中$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\alpha (\mathrm{\Delta }x)=0$
  • 则$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+\alpha (\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$
  • 当$\mathrm{\Delta }x\to 0$，上式右端趋于$0$，所以左端也趋于$0$
  • 由定义，即$f(x)$在$x_0$处连续