1.1 随机事件和运算

随机试验与随机事件

随机试验

随机试验, 简称试验 $E$ 性质:

• 可在相同条件下重复进行
• 所有可能结果不止一个, 且在试验前已知
• 每次试验结果应在已知所有可能结果中, 且事先无法预知

随机事件

试验的每个可能的结果为随机事件, 简称事件

• 用大写字母表示

必然事件 $\mathit{\Omega }$

• 每次试验必然出现的结果

不可能事件 $\mathit{\Phi }$

• 每次试验必然不出现的结果

基本事件 / 样本点 $\omega ,\nu ,\tau ,\cdots$

• 一个试验中最简单的单一事件
• 非无穷, 无穷可数, 无穷不可数

样本空间 $\mathit{\Omega }$ / $S$

• 所有样本点组成的集合
• 随机事件是样本空间的子集
  • 样本点在事件 $A$ 内, $\omega \in A$, 称事件 $A$ 发生
  • 否则 $\omega \notin A$, 称事件 $A$ 不发生
• 由于每次试验中 $\mathit{\Omega }$ 必然发生, 因此是必然事件
• 空集 $\mathit{\Phi }$ 不包含任何样本点, 每次试验必不发生

随机事件关系与运算

关系

• 包含关系

  • 事件 $B$ 发生, 必然导致事件 $A$ 发生, 事件 $B$ 包含于事件 $A$, 事件 $A$ 包含事件 $B$
  • $B\subset A,A\supset B$

• 相等关系

  • 若 $B\subset A$ 且 $A\supset B$, 则称事件 $A$ 与 $B$ 相等
  • $A=B$

运算

• 事件的并
  • 使得事件 A 与 B 中至少有一个发生的事件, 这个事件称为 $A$ 与 $B$ 的并
  • $A\cup B=\{\omega |\omega \in A\vee \omega \in B\}$
• 事件的交
  • 使得事件 A 与 B 同时发生的事件, 这个事件称为 A 与 B 的交
  • $A\cap B=\{\omega |\omega \in A\wedge \omega \in B\}$
  • 符号可省略, 读作 A 乘 B
• 事件的差
  • 使得 A 发生而 B 不发生
  • $A-B=\{\omega |\omega \in A\wedge \omega \notin B\}$
• 对立事件
  • 所有不属于事件 A 的基本事件组成的事件, 称为事件 A 的对立事件或逆事件
  • $\bar{A}=\{\omega |\omega \in \mathit{\Omega }\wedge \omega \notin A\}$
  • 事件与对立事件
    • $A\cup A=\mathit{\Omega }$
    • $A\bar{A}=\varnothing$
    • $\overline{\stackrel{―}{A}}=A$
    • $A-B=A\bar{B}$
    • 必然事件与不可能事件互斥
• 互不相容
  • 若 $AB=\varnothing$, 称事件 $A$ 与 $B$ 互不相容或互斥
  • 若 $n$ 个事件两两交集为空, 则 $n$ 个事件互不相容
  • 互为对立的两事件必为互不相容, 反之未必成立
  • 两事件互不相容, 则两事件的并读作加, $A\cup B=A+B$

运算规律

交换律

$$\begin{array}{rl}A\cup B& =B\cup A\\ AB& =BA\end{array}$$

结合律

$$\begin{array}{rl}(A\cup B)\cup C& =A\cup (B\cup C)\\ (AB)C& =A(BC)\end{array}$$

分配律

$$\begin{array}{rl}A\cup (BC)& =(A\cup B)(A\cup C)\\ A(B\cup C)& =(AB)\cup (AC)\end{array}$$

对偶律 (De Morgan 定理)

对于两事件

$$\begin{array}{rl}\overline{A\cup B}& =\bar{A}\bar{B}\\ \overline{AB}& =\bar{A}\cup \bar{B}\end{array}$$

对于 $n$ 个或无穷事件

$$\overline{\bigcup _{i=1}^n{A}_i}$$

运算顺序: 对立 > 交 > 并 & 差, 括号优先

事件式

用简单事件以及运算符号组成的式子

化简事件式