1.4 事件的独立性

定义

任意两个事件 $A,B$, 若满足

$$P(AB)=P(A)P(B)$$

则称事件 A 与事件 B 相互独⽴, 简称 A 与 B 独⽴

• 即 $P(A|B)=P(A)=P(A|\bar{B})$

推广到三个

若事件 $A_1,A_2,A_3$ 满足

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}P(A_1{A}_2)=P(A_1)P(A_2)\\ P(A_1{A}_3)=P(A_1)P(A_3)\\ P(A_2{A}_3)=P(A_2)P(A_3)\end{array}\\ P(A_1{A}_2{A}_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)\end{array}$$

则称三个事件相互独立

• 两两独立 (pairwise)
• 相互独立 (mutual)

推广到多个

若 $n$ 个事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n(n\ge 2)$ 满足

$$\begin{array}{c}P(A_i{A}_j)=P(A_i)P(A_j)(i<j)(C_n^2\mathrm{个}\mathrm{等}\mathrm{式})\\ ...\end{array}$$

性质

• 对称性: 两事件相互独立是相互对称的
• $P(A)>0$, 则 $P(B)=P(B|A)$$P(B)>0$, 则 $P(A)=P(A|B)$
• 若 $P(A),P(B)>0$, 则 “相互独立” 与 “互斥” 不能同时成立
  • 若互斥则一个发生另一个必不发生
• 若四对事件 $A,B;A,\bar{B};\bar{A},B;\bar{A},\bar{B}$ 任意一对事件相互独立, 则其余三对也分别相互独立

若 $n$ 个事件相互独立, 则将这 $n$ 个事件任意分成 $k$ 组, 同一事件不能同时属于两个不同的组, 则对每组的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的 $k$ 个事件也相互独立

利用独立事件的性质计算并事件的概率

若 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 相互独立, 则

$$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=1-\prod _{i=1}^n(1-P(A_i))$$

证明

$$\begin{array}{rl}P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)& =1-P(\overline{A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n})\\ & =1-P({\bar{A}}_1{\bar{A}}_2\cdots {\bar{A}}_n)\\ & =1-\prod _{i=1}^{n}P(\overline{A_i})\\ & =1-\prod _{i=1}^n(1-P(A_i))\end{array}$$

当 $P(A_i)=p$,

$$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=1-(1-p{)}^n$$

伯努利试验概型

$n$ 重伯努利试验概型:

• 重复试验 $n$ 次
• 每次试验只有两种可能的结果 $A,\bar{A}$
• 每次试验的结果与其它次试验无关: $n$ 次试验是相互独立的

事件 $A$ 出现 $k$ 的概率, 记为 $P_n(k)$. 若 $P(A)=p,0<p<1$,

$$P_n(k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n$$