定积分的换元法

定积分的凑微分

设函数 $f$ 在区间 $I$ 上连续，$F^{\prime }(u)=f(u)$，又 ${\phi }^{\prime }(x)\in C[a,b]$，且 $\phi$ 的值域 $R(\phi )\subset I$，则有

$${\int }_a^{b}f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f[\phi (x)]\mathrm{d}\phi (\mathrm{x})=F[\phi (x)]{|}_a^b$$

• 对应不定积分的凑微分法

定积分的第二换元法

设函数 $f(x)\in C[a,b]$，如果可导函数 $x=\phi (t)$ 满足条件 ${\phi }^{\prime }(t)\in R[\alpha ,\beta ]$，且 $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$

• 若 $\alpha >\beta$，结论仍成立

• 积分限要相应地变化，所以不需要代回计算

• 换元法详见不定积分的换元法

• 区间再现公式

  • ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(a+b-x)\mathrm{d}x}$

奇偶函数对称区间的定积分

函数 $f(x)\in R[-a,a]$，有

$${\int }_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}0,& f\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}\\ 2{\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x,}& f\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}\end{array}$$

三角函数定积分

函数 $f\in C[0,1]$，

1. $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x$$
2. $${\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x$$
3. $${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x$$

• 以上三个公式可以用于三角函数的一些特殊的变换，便于求出难以求原函数的积分
  • ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}}\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x}$

定积分的分部积分法

设函数 $u(x),v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的导数 $u^{\prime }(x),v^{\prime }(x)\in R[a,b]$，则

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x$$

• 定积分的分部积分公式

定积分的沃利斯 (Wallis) 公式

$$\begin{array}{rlr}{I}_n& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x& (n\in {\mathbb{N}}_{+})\\ & =\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}},& n\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数},\\ {\displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}},& n\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数}.\end{array}\end{array}$$

定积分周期性

若周期函数 $f(x)$ 有周期 $T$，则

$${\int }_a^{a+nT}f(x)\mathrm{d}x=n{\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x$$

定积分的综合例题

与积分相关的极限问题

• 定积分的定义 黎曼和的极限
• 定积分的性质
• 洛必达法则
• 夹逼定理

与积分相关的函数最值问题

• 变限积分与含参数积分
  • 求变限积分的导数得到极值点

积分不等式

• 构造辅助函数

  • 辅助函数两端的函数值都为零

• N - L 公式

• 定积分换元法

• 利用不等式放缩

  • 绝对值不等式
  • 估值不等式

• 函数和导函数结合在一起：先求导然后作变限积分

  • ${\displaystyle f(x)=f(x)-f(a)={\int }_a^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t+f(a)}$

中值问题

• 微分中值定理
• 泰勒公式
• 闭区间连续函数性质（介值性）