Kurage Notes

Appearance

2023-09-18

数列 ​

概念 ​

由数组成的序列

  • x1,x2,⋯,xn,⋯
  • xn∈R为数列的通项
  • 数列记为{xn}n=1∞，简记为{xn} 数列的性质与函数互通 数列也可视为特殊的函数
  • 离散函数
  • f:N+→Rn↦xn=f(n)

基本性质 ​

单调性 ​

  • 单调增加
    • ∀n∈N+,xn+1≥xn
    • 严格单调增加
      • xn+1>xn
  • 单调减少
    • ∀n∈N+,xn+1≤xn
    • 严格单调减少
      • xn+1<xn

有界性 ​

  • 有上界
    • ∃M>0,∀n∈N+,xn≤M
  • 有下界
    • ∃m<0,∀n∈N+,xn≥m
  • 有界
    • 有上界且有下界
    • ∃M>0,∀n∈N+,|xn|≤M

数列极限 ​

定义 ​

对数列{xn}若存在常数A∀ε>0,∃N∈N,使得当n>N时,有|xn−A|<ε则称数列{xn}的极限为A,或收敛于A记为limn→∞xn=A或xn→A(n→∞) 若不存在这样的常数A，则称数列{xn}是无极限的，或发散 ∀A,∃ε>0,∀N∈N,∃n>N,有|xn−A|≥ε

  • 定义中“∀ε>0,∃N∈N”
    • 一般来说N依赖于ε，ε越小，N越大
    • N的选择不唯一
  • 定义中“|xn−A|<ε”
    • 此为A的一个ε邻域
    • 当n充分大时，所有的通项xn都落在这个邻域内
    • 若A是数列{xn}的极限，则以A为心的任一邻域U(A,ε)，数列{xn}有无穷多项落在U(A,ε)内，而仅有有限项落在邻域外

用定义证明极限 ​

方法

  • 分析法
  • 等价变形
    • 两边取对数
      • 当|q|<1,|q|n<ε⟺n=log|q|⁡|q|n>log|q|⁡ε
  • 适当放大法
    • |xn−A|≤H(n),只需要解H(n)<ε
  • 分子有理化
  • 分步法
    • 见例2 [[2023-09-22 例题1]] 例子
  • 对xn=1n
    • 要使{xn−0}<ε,即n>1ε则使N=[1ε],此时n≥[1ε]+1>N∴∀ε>0,∃N=[1ε],使得n>N时,有|xn−0|<ε(定义)

无穷小和无穷大 ​

无穷小 ​

定义 ​

若limn→∞xn=0，则称{xn}为无穷小量，简称{xn}为无穷小

  • 无穷小并非一个数，是一个极限为0的（动态）过程
  • limn→∞xn=A⟺limn→∞(xn−A)=0
    • 极限都可以转化为对无穷小量的分析

定理 ​

若数列{αn},{βn}是无穷小，则{αn±βn}也是无穷小

  • 证明
    • ∀ε>0∃N1,n>N1:|αn|<ε∃N2,n>N2:|βn|<ε∃N=max{N1,N2},n>N:|αn±βn|≤|αn|+|βn|<ε2+ε2=ε

定理 ​

若数列{αn}是无穷小，而数列{γn}有界，则{αnγn}是无穷小

  • 证明
    • {γn}有界,∴∃M,∀n有|γn|≤M{αn}无穷小,∴∀ε>0,∃N,n>N时,有|αn|<εM∴对同样ε,有同样N,n>N时,|αnγn|<εM⋅M=ε

无穷大 ​

定义 ​

对数列{xn}若满足∀G>0,∃N∈N,使得当n>N时,|xn|>G则称数列{xn}为无穷大量,简称无穷大记为limn→∞xn=∞

  • 正无穷大limn→∞xn=+∞
    • 条件改为xn>G
  • 负无穷大limn→∞xn=−∞
    • 条件改为xn<−G 当数列{xn}为无穷大时，称{xn}的极限是无穷大，等于无穷大，但{xn} 不能称{xn}但极限发散至无穷大

无界 ​

定理 ​

若xn≠0，则limn→∞1xn=0⇔limn→∞xn=∞

  • 无穷小
    • ∀ε>0,∃N∈N,使得当n>N时,|1xn|<ε
  • 无穷大
    • ∀G>0,∃N∈N,使得当n>N时,|xn|>G
  • 无界
    • ∀G>0,∃n∈N+,使得|xn|>G
    • 只需要有一个或以上成立 无穷大⟹无界，但反之未必
  • 非无穷大
    • ∃G>0,∀N∈N,∃n>N,使得|xn|≤G