函数

定义

• 两个非空数集之间的映射
• 记为$f:X\to Y$或$y=f(x),x\in X$
  • 自变量 $x$
  • 定义域 $X$
    • 自变量的取值范围
    • 记为 $D(f)=X$
    • 若 $X$ 省略，则定义域为使函数有意义的最大取值范围，称为自然定义域
  • 因变量 $y$
  • 值域 $Y$
    • 因变量的变化范围
    • 记为$R(f)\subset Y$
    • 通常可取 $Y=\mathbb{R}$ 或 $Y=R(f)$ 或省略
  • *又称单值函数（->多值函数、复变函数（->复数开方运算是多值函数））

自然定义域需要满足：分母不为0，复数不开根，幂函数、对指数函数、反三角函数特殊定义域等。

确定函数（同一性）两个要点

1. 定义域
2. 对应法则

函数的图像

定义

• 设 $f$ 为定义域 $X$ 上的一个函数，则点 $(x,y)$ 的集合称函数 $f$ 在坐标平面 $xOy$ 上的图形
• $G(f)=\{(x,y)|y=f(x),x\in X\}$

函数的运算

和差积商

设函数$f$与$g$，$D(f)=I_1$，$D(g)=I_2$，若$I=I_1\cap I_2\ne \varnothing$，则在$I$上可定义函数的和差积商

• $$\begin{array}{rlrl}& & (f+g)(x)& =f(x)+g(x)\\ & \mathrm{\forall }x\in I,& (f-g)(x)& =f(x)-g(x)\\ & & (f\cdot g)(x)& =f(x)g(x)\\ & \mathrm{\forall }x\in I(g(x)\ne 0),& (\frac{f}{g})(x)& =\frac{f(x)}{g(x)}\end{array}$$
  • 和 $f+g$
  • 差 $f-g$
  • 积 $f\cdot g$
  • 商 $\frac{f}{g}$

复合函数

定义

设函数$y=f(u),D(f)=U$，及函数$u=g(x),D(g)=X$ 若$R(g)\cap D(f)\ne \varnothing$，则可定义$f$与$g$的复合函数：

$$f\circ g=f[g(x)],x\in \{g(x)\in D(f),x\in X\}$$

也可写作$y=f(u),u=g(x),x\in \{x|g(x)\in D(f),x\in D(g)\}$$u$称作中间变量

单射、满射

定义

设有函数$f:X\to Y$

• 单射
  • $\mathrm{若}\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X,x_1\ne x_2,\mathrm{有}f(x_1)\ne f(x_2),\mathrm{则}\mathrm{称}f\mathrm{为}X\mathrm{到}Y\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{射}$
• 满射
  • $\mathrm{若}\mathrm{\forall }y\in Y,\mathrm{\exists }x\in X,\mathrm{使}\mathrm{得}f(x)=y,\mathrm{则}\mathrm{称}f\mathrm{为}X\mathrm{到}Y\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{射}$
• 双射（一一对应）
  • $f$既是单射也是满射

性质

• *仅在讨论单双射满射时需要考虑 $Y$
• 一个单射函数一定是定义域到值域的双射函数
• 一个严格单调的函数一定是定义域到值域的双射函数

特殊函数

• 符号函数sgn
  • $f(x)=\{\begin{array}{l}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array}$
• dirichlet函数
  • $f(x)=\{\begin{array}{l}x=1,x\in \mathbb{Q}\\ x=0,x\in {\mathrm{C}}_{\cup }\mathbb{Q}\end{array}$

反函数

定义

• $$\begin{array}{c}\mathrm{若}f:X\to Y\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{双}\mathrm{射}\mathrm{函}\mathrm{数},\mathrm{则}x\in X=D(f)\mathrm{与}y\in Y=R(f)\mathrm{一}\mathrm{一}\mathrm{对}\mathrm{应}\\ y=f(x),x\in D(f)\iff =f^{-1}(y),y\in R(f)\\ \\ \mathrm{称}x=f^{-1}(y),y\in R(f)\mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x),x\in D(f)\mathrm{的}\mathrm{反}\mathrm{函}\mathrm{数}\end{array}$$

单射函数$f$一定具有值域$R(f)$到定义域$D(f)$的反函数$f^{-1}$

• 只与$f$有关，与用$x$还是$y$表示无关
  • 不过最好用$x=f^{-1}(y),y\in R(f)$
    • e.g. ${\displaystyle \frac{1}{f^{-1}(y)}}=f^{\prime }(x)$

性质

• $(f^{-1}{)}^{-1}(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in D(f)$
• $f^{-1}[f(x)]=x,\mathrm{\forall }x\in D(f)$
• $f[f^{-1}(y)]=y,\mathrm{\forall }y\in D(f^{-1})=R(f)$
  • $f$ 与$f^{-1}$的复合称为恒等函数
    • 其定义域为内层函数的定义域

函数性质

奇偶性

定义

单调性

定义

$\begin{array}{rl}& \mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}I\mathrm{上},\\ & \mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in I,x_1<x_2\\ & \mathrm{称}f\mathrm{在}I\mathrm{上}\end{array}$

• 单调函数
  • 非严格单调函数
    • 单调增加
      • $f(x_1)\le f(x_2)$
    • 单调减少
      • $f(x_1)\ge f(x_2)$
  • 严格单调函数
    • 严格单调增加
      • $f(x_1)<f(x_2)$
    • 严格单调减少
      • $f(x_1)>f(x_2)$

常值函数既单调增也单调减 区间单调性

• 在相应的区间单调

有界性

定义

$\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}I\mathrm{上}$

• 上界
  • $f$在$I$上有上界: $\mathrm{\exists }M\in R,\mathrm{\forall }x\in I:f(x)\le M$
• 下界
  • $f$在$I$上有下界: $\mathrm{\exists }m\in R,\mathrm{\forall }x\in I:f(x)\ge M$
• 有界
  • $f$在$I$上有界: $\mathrm{\exists }\overline{M}\in R,\mathrm{\forall }x\in I:|f(x)|\le \overline{M}$
  • 称$f$是$I$上的有界函数
  • 否则称无界函数

周期性

定义

$\begin{array}{rl}& \mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}I\mathrm{上},\\ & \mathrm{\exists }T\ne 0,\mathrm{\forall }x\in I:x+T\in I,f(x)=f(x+T),\\ & \mathrm{则}\mathrm{称}f\mathrm{为}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{函}\mathrm{数},T\mathrm{是}f\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{周}\mathrm{期}\end{array}$

若$T$是$f$的一个周期，则$nT$也是$f$的一个周期 一般，周期指最小正周期 没有最小正周期的函数

• 常值函数
• Dirichlet函数
  • 证明：$\mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q},D(x)=D(X+q)\mathrm{对}\mathrm{\forall }x\mathrm{成}\mathrm{立}$

基本初等函数

指数函数

对数函数

幂函数

• 定义域依赖于a
  • 当$a=\frac{p}{q}(p,q\mathrm{互}\mathrm{质})$为正有理数
    • 若q为奇数，为R
    • 若q为偶数，为$[0,+\mathrm{\infty })$
  • 当$a=\frac{p}{q}(p,q\mathrm{互}\mathrm{质})$为负有理数
    • 若q为奇数，为
    • 若q为偶数，为$(0,+\mathrm{\infty })$
  • 当a为正无理数，为$[0,+\mathrm{\infty })$
  • 当a为负无理数，为$(0,+\mathrm{\infty })$
    • *依靠逼近方法得到无理次幂函数

三角函数

• ->万能公式
• ->积化和差、和差化积

反三角函数

双曲函数

• 双曲正弦函数 $\sinh x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$
  • $D(f)=\mathbf{R},R(f)=\mathbf{R}$
  • 严格单调增加
  • 奇函数
  • 绿色表示
• 双曲余弦函数 $\cosh x={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$
  • $D(f)=\mathbf{R},R(f)=[1,+\mathrm{\infty })$
  • 分段严格单调
  • 偶函数
  • 红色表示

top=10;bottom=-10
left=-10;right=10
---
y=\sinh(x)|green
y=\cosh(x)|red

函数的表示

隐函数

方程所隐藏的对应关系，即为隐函数 $F(x,y)=0$为隐函数方程 有的可解为显函数，有的无法

参数方程

$\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},t\in I$$t$称为参数变量 通常可以利用弧长、角度等变量建立参数方程

旋轮线

圆周在直线上滚动时，其上一定点的轨迹->摆线与最速降线 $\{\begin{array}{ll}& x=r\theta -r\sin \theta \\ & y=r-r\cos \theta \end{array}$

极坐标

平面上的点P可用极坐标$P(\rho ,\theta )$表示

• 直角坐标化为极坐标$\{\begin{array}{c}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$
• 极坐标化为直角坐标$\{\begin{array}{c}{\rho }^2=x^2+y^2\\ \tan \theta =\frac{y}{x}\end{array}$ 极坐标方程 等轴双曲线

极坐标曲线$r=f(\theta )$的对称关系

• 以$-\theta$代替$\theta$，方程不变，图像关于极轴对称
  • 如$\cos \theta =\cos (-\theta )$
• 以$\pi -\theta$替代$\theta$，方程不变，图形关于$\theta ＝\pm \frac{\pi }{2}$对称
• 以$\pi +\theta$替换$\theta$，方程不变，图形关于极点中心对称