8.5 多元复合函数的微分法

复合函数的偏导数

定理

设 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处具有一阶偏导数, 函数 $z=f(u,v)$ 在相应于 $(x,y)$ 的点 $(u,v)$ 处可微, 则复合函数 $z=f(u(x,y),v(x,y))$ 在 $(x,y)$ 处存在偏导数, 且

$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}\cdot {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\cdot {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}\\ {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}\cdot {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}\cdot {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}\end{array}$$

计算时可以保留已知的复合部分 $u,v$

利用全微分的一阶微分不变性

$$\begin{array}{c}z=xy,x=t^2,y=t\\ z=t^3⟹\mathrm{d}z=3t^2\mathrm{d}t\\ \\ \mathrm{d}z=y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y\\ \\ \mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t,\mathrm{d}y=\mathrm{d}t\\ \\ \therefore \mathrm{d}z=2ty\mathrm{d}t+x\mathrm{d}t=(x+2ty)\mathrm{d}t\end{array}$$

先求全微分再对每一个复合自变量求偏微分

全导数

$f(x,y,z),x(t),y(t),z(t)$, 则 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}}$ 称为 $f$ 的全导数

隐函数的偏导数

隐函数存在定理

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=-{\displaystyle \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}}$$