10.1 第一类曲面积分

概念

定义

应用

物质曲面质量 面密度为 $\mu (x,y,z)$ 的物质曲面 $\mathit{\Sigma }$ 的质量

$$m=\underset{\mathit{\Sigma }}{\iint }\mu (x,y,z)\mathrm{d}S$$

封闭曲面的表示

$$\subset \supset \underset{\mathit{\Sigma }}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S$$

性质

与第一类曲线积分类似

计算

参数方程形式

Recall

09.4 重积分的应用

设光滑曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 的参数方程为

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}(u,v)\in D_{uv}$$

$D_{uv}$ 为 $uv$ 平面上的有界区域

如果函数 $f(x,y,z)$ 在 $\mathrm{\Sigma }$ 上连续, 则 $f$ 在曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 上的第一类曲面积分存在, 且有计算公式

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y,z)\mathrm{d}S& ={\iint }_{D_{uv}}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & ={\iint }_{D_{uv}}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & ={\iint }_{D_{uv}}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$$$A=\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},B=\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},C=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$$$$E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,F=x_u{x}_v+y_u{y}_v+z_u{z}_v,G=x_v^2+y_v^2+z_v^2$$

向量形式 若曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 用双参数的定位向量形式表示

$$\mathit{r}=\mathit{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in D_{uv}$$

则

$$(A,B,C)={\mathit{r}}_u\times {\mathit{r}}_v,\mathrm{d}S=|{\mathit{r}}_u\times {\mathit{r}}_v|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

显式方程 曲面 $\mathrm{\Sigma }$ 方程为 $z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}⟹\mathit{r}=\mathit{r}(x,y)=(x,y,z(x,y))$ 其中 $D_{xy}$ 是 $\mathrm{\Sigma }$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域, 则有

$$\mathrm{d}S=|{\mathit{r}}_x\times {\mathit{r}}_y|\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{D_{\mathrm{xy}}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

对称性

若光滑曲面 $\mathit{\Sigma }$ 关于 $yOz$ 平面对称, 则

$$\underset{\mathit{\Sigma }}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\{\begin{array}{ll}0,& f(-x,y,z)=-f(x,y,z),\\ 2{\displaystyle \underset{{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{半}}}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S,}& f(-x,y,z)=f(x,y,z).\end{array}$$

• ${\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{半}}$ 表示 $\mathit{\Sigma }$ 位于 $yOz$ 平面前方 (或后方) 的部分曲面
• 对于其他坐标平面对称时有类似结论