8.9 条件极值 拉格朗日乘数法

研究有约束情况下函数的极值问题

$n$ 元函数 $u=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 在 $m$ 个条件 ${\phi }_i(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=0(i=1,2,\cdots ,m;m<n)$ 下的极值问题称为条件 (约束) 极值问题, $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 为目标函数, ${\phi }_i(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=0$ 为约束条件

在约束条件 $z=z(x,y)$ 下, $f(x,y,z)$ 的最值: 令 $\phi (x,y,z)=z(x,y)-z=0$

$$F(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)$$

则

$$\{\begin{array}{l}{F}_x=0\\ F_y=0\\ F_z=0\\ F_{\lambda }=0\end{array}$$

所确定的点为 $F$ 的驻点, 于是求得 $(x,y,z)$ 为所求解