随机变量独立性判定

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的方差都存在，且 $D(X)>0,D(Y)>0$，则下列命题等价：

• $X$ 与 $Y$ 不相关
• ${\rho }_{XY}=0$
• $\mathrm{cov}(X,Y)=0$
• $E(XY)=E(X)E(Y)$
• $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$
• $D(X+Y)=D(X-Y)$

若 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 则 $X,Y$ 一定不相关

• 反之不然, 如画一个圆, 相关系数一定为零, 但 $Y$ 的取值会随 $X$ 变化
• 若 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则 $X,Y$ 独立等价于 $X,Y$ 不相关