省流

面积、弧长与旋转曲面面积

	直角坐标显式方程	直角坐标参数方程	极坐标
方程形式	$y=f(x),x\in [a,b]$	$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [T_1,T_2]$	$r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]$
平面图形面积	${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$	${\displaystyle {\int }_{T_1}^{T_2}|y(t)x^{\prime }(t)|\mathrm{d}t}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )\mathrm{d}\theta }$
弧长的微分	${\displaystyle \mathrm{d}l=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x}$	${\displaystyle \mathrm{d}l=\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t}$	${\displaystyle \mathrm{d}l=\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta }$
曲线弧长	${\displaystyle {\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x}$	${\displaystyle {\int }_{T_1}^{T_2}\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t}$	${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta }$
旋转曲面面积	$2\pi {\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x}$	$2\pi {\displaystyle {\int }_{T_1}^{T_2}|y(t)|\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t}$	$2\pi {\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }r(\theta )\sin \theta \sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta }$

立体的体积

平行界面立体	围绕 $x$ 轴 ($x\in [a,b]$)	围绕 $y$ 轴 ($y\in [a,b]$)	“薄壳法”围绕 $y$ 轴
${\displaystyle V={\int }_a^{b}A(x)\mathrm{d}x}$	${\displaystyle V_x=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x}$	${\displaystyle V_y=\pi {\int }_c^d{g}^2(y)\mathrm{d}y}$	${\displaystyle V_x=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x}$

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微元法

整体分割 取近似 $\mathrm{\Delta }F\approx \mathrm{d}F=f(x)\mathrm{d}x$，对 $\mathrm{d}F$ 积分则求得 ${\displaystyle F={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$

平面图像的面积

直角坐标

两函数 $f,g$ 的图像在闭区间所围的面积

$$A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$$

• 由面积微元 $\mathrm{d}A=[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$

参数方程

对于参数形式的曲线 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},(\alpha \le t\le \beta )$，其中 $x(t),y(t)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上有连续导数， $y(t)\ge 0$ 且 $a=x(\alpha ),b=x(\beta )$ 若 $x(t)$ 严格单调增加，则 $x(t)$ 存在反函数 $t=t(x)$，曲线方程可表示为

$$y=y[t(x)](a\le x\le b)$$

代换得

$$A={\int }_a^{b}y\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)x^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$

若 $x(t)$ 严格单调减少，$a>b$，则

$$A={\int }_b^{a}y\mathrm{d}x={\int }_{\beta }^{\alpha }y(t)x^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$

• 注意积分上下限的颠倒

极坐标

$$A={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )\mathrm{d}\theta$$

立体的体积

平行界面面积已知的立体的体积

立体夹于垂直于 $x$ 轴的两平面 $x=a,x=b(a<b)$ 之间，垂直于 $x$ 轴的截面的面积为 $A(x)\in C[a,b]$，则

$$V={\int }_a^{b}A(x)\mathrm{d}x$$

旋转体体积

曲边梯形 $0\le y\le f(x)\in C[a,b],a\le x\le b$，绕 $x$ 轴旋转一周

$$V_x=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$$

曲边梯形 $0\le x\le g(y)\in C[c,d],c\le y\le d$，绕 $y$ 轴旋转一周

$$V_y=\pi {\int }_c^d{g}^2(y)\mathrm{d}y$$

“薄壳法”

绕 $y$ 轴旋转一周的体积

$$V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x$$

• 思想
  • 小曲边梯形绕 $y$ 轴旋转所得体积，求积分
  • 取 $[x,x+\mathrm{d}x]$ 区间，体积微元看作两个圆柱体积的差
  • $\mathrm{\Delta }V=\pi f(x)[2x\mathrm{d}x+(\mathrm{d}x{)}^2]⟹\mathrm{d}V=2\pi xf(x)\mathrm{d}x$

拓展内容

参数方程下旋转体体积（可以推出）

对于连续曲线 $C_1:\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}(t\in [\alpha ,\beta ])$，且 $\phi \in C^1[\alpha ,\beta ],{\phi }^{\prime }(t)\ne 0$$a=\phi (\alpha ),b=\psi (\beta )$ 则由曲线 $C_1,x=a,x=b$ 和 $x$ 轴所围成的图形

$$V_x=\pi |{\int }_{\alpha }^{\beta }{\psi }^2(t){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t|$$

极坐标下旋转体体积（不考）

连续曲线 $C:r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]\subset [0,\pi ]$ 所表示的面积绕极轴旋转一周

$$V=\frac{2\pi }{3}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^3(\theta )\sin \theta \mathrm{d}\theta$$

平面曲线的弧长

直角坐标

对于 $y=f(x)(a\le x\le b),f\in C^{(1)}[a,b]$

$$s={\int }_a^b\mathrm{d}s={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$$

• 由曲率公式 -> 弧微分公式
• 定理
  • 弧长函数
  $$s(x)={\int }_a^x\sqrt{1+f^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$

参数方程

对于 $\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t)\end{array}(\alpha \le t\le \beta )$，其中 $x(t),y(t)\in C^{(1)}[\alpha ,\beta ]$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t(\alpha \le t\le \beta )$$

• 第二类椭圆积分的原函数不是初等函数，需要查表

极坐标

对于 $r=r(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$，其中 $r(\theta )\in C^{(1)}[\alpha ,\beta ]$，由 $\{\begin{array}{l}x=r(\theta )\cos \theta ,\\ y=r(\theta )\sin \theta \end{array}(\alpha \le \theta \le \beta )$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$$

• 可以直接化为参数方程计算

旋转曲面的表面积

直角坐标

平面曲线 $C:y=f(x),x\in [a,b],f(x)\ge 0$ 绕 $x$ 轴旋转一周得到旋转曲面

$$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$$

参数方程

$C:\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}(t\in [\alpha ,\beta ])$ 为光滑曲线，且 $\psi (t)\ge 0$，由曲线绕 $x$ 轴所得旋转曲面的面积

$$S=2\pi {\int }_a^b\psi (t)\sqrt{{\psi }^{\prime 2}(t)+{\phi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$

极坐标

$r(\theta )\in C^1[\alpha ,\beta ],C:r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]$ 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积

$$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }r(\theta )\sin \theta \sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$$