线性微分方程

线性微分方程的各项中未知函数及其导数均为一次，形如

$$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}(x)y^{\prime }+p_n(x)y=f(x)$$

$p_1(x),p_2(x),\cdots ,p_n(x)$ 为方程的系数，$f(x)$ 为非齐次项，均为连续函数 当 $f(x)\equiv 0$，为线性齐次微分方程

叠加原理（线性组合）

若 $y_1(x),y_2(x)$ 分别是两个线性方程的解，它们的齐次部分相同为

$$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}(x)y^{\prime }+p_n(x)y$$

而非齐次部分不同，分别为 $f_1(x),f_2(x)$ 则两个解的线性组合 $C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ 是以下方程的解

$$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}(x)y^{\prime }+p_n(x)y=C_1{f}_1(x)+C_2{f}_2(x)$$

推论

线性齐次微分方程的两个解的线性组合仍为此方程的解

二阶线性齐次微分方程解的结构

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$

简称 $(HL)$ 方程

函数线性相关

$$k_1{y}_1(x)+k_2{y}_2(x)\equiv 0,\mathrm{\forall }x\in I,k_1,k_2\ne 0$$

则函数 $y_1(x),y_2(x)$ 在 $I$ 上线性相关，否则线性无关

• 线性相关 $⟺y_1(x)=k{y}_2(x)(k\ne 0)$

定理

二阶线性齐次微分方程的基本解组（两个线性无关的解）$y_1(x),y_2(x)$ 的线性组合为它的通解

$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x),C_1,C_2\in F$$

如果已知一个特解，求出另一个线性无关的特解需要用到以下公式

刘维尔 (Liouville) 公式

设方程 $(HL)$ 的一个非零解为 $y_1(x)$，则可求另一个线性无关的解 $$y_2(x)=y_1\int\dfrac{1}{y_1^2}e^{-\int p(x),\mathrm{d}x},\mathrm{d}x$$

• 证明 设 $y_2(x)=c(x)y_1(x)$，利用常数变易法
• 一个已知的非零特解可以通过观察法找到，考虑初等函数
  • $x^m$
  • $e^{mx}$
  • $\sin mx,\cos mx$

二阶线性非齐次方程解的结构

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$$

记之为 $(NHL)$ 方程 其有对应的 $(HL)$ 方程 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$

则 $(NHL)$ 解的结构如下 设 $y^{\ast }(x)$ 为 $(NHL)$ 的解，$y_1(x),y_2(x)$ 为其对应的 $(NL)$ 的基本解组，则 $(NHL)$ 的通解为

$$y=y^{\ast }(x)+C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x),C_1,C_2\in F$$

求出 $(NHL)$ 的特解可以使用常数变易法，设

$$y^{\ast }(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)$$

其中 $c_1(x),c_2(x)$ 为待定方程，其次数不会超过 $p(x),q(x)$ 对它分别求一阶导和二阶导，代入原式相加，对比系数求得特解