向量

有大小有方向的量 $\overrightarrow{v},\overrightarrow{AB}$ 向量的大小称为模 $|\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{AB}|=|AB|$ 零向量 $\overrightarrow{0}$ 任意方向

向量坐标

三元有序数组 $(a,b,c)\in V_3$ 为三维向量 二元有序数组 $(a,b)\in V_2$ 为二维向量 将向量的起点移动到原点 $O$，有向量 $\overrightarrow{v}=(a,b,c)=\overrightarrow{OP}$，与点 $P(a,b,c)$ 一一对应 模长 $|\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

向量线性运算

加法

平行四边形法则

• 交换律
• 结合律

三角不等式

$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\le |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$$

减法

$$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$$

数乘

$$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),k\overrightarrow{a}=(k{a}_1,k{a}_2,k{a}_3)$$

$|k\overrightarrow{a}|=|k|\cdot |\overrightarrow{a}|$

• 性质
  • 分配律
  • 交换律
  • 结合律

共线与平行

若向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 共线，称两者平行 $\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}⟺\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 线性相关 $⟺\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}⟺{\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}={\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}={\displaystyle \frac{a_3}{b_3}}$

单位向量，单位化与标准基

模为 $1$ 的向量为单位向量

$\overrightarrow{a}$ 方向上的单位向量（单位化）

$$\overrightarrow{a}\to {\overrightarrow{a}}^0=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}=\frac{1}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}(a_1,a_2,a_3)$$

标准正交基

$$\begin{array}{c}\hat{i}=(1,0,0)\\ \hat{j}=(0,1,0)\\ \hat{k}=(0,0,1)\end{array}$$

定比分点公式

$M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)$，若 $M_1{M}_2$ 上有一点 $M$ 使得 $\overrightarrow{M_{1}M}=\lambda \overrightarrow{M{M}_2}$，则

$$M=(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda },\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda },\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda })$$

共面（平面向量线性组合）

若多个向量的起点为同一点，起点与所有的终点共面，则这几个向量共面 共面的向量，其中一个可以被另外的线性表示

$$\overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}$$

空间向量线性组合

若向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 不共面，则对任意向量 $\overrightarrow{d}$，$\mathrm{\exists }\lambda ,\mu ,\nu \in \mathbb{R}$，使得

$$\overrightarrow{d}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}+\nu \overrightarrow{c}$$

平行六面体法则