10.1 第一类曲线积分

第一类曲线积分的计算

设 $C$ 为光滑曲线, 函数 $f(x,y)$ 在 $C$ 上连续, 则第一类曲线积分:

$$\underset{C}{\int }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t(\alpha <\beta )$$

当曲线 $C$ 的方程为 $y=y(x),x\in [a,b]$ 时

$$\underset{C}{\int }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}t(a<b)$$

第一类曲线积分计算的常用技巧

• 原点对称
• 轴对称
• 轮换对称
• 积分区域划分

第一类曲线积分

函数对弧长的曲线积分

定义

Info

设 $C$ 是 $xOy$ 平面内以 $A,B$ 为端点的光滑曲线, 函数 $f(x,y)$ 在 $C$ 上有界. 在 $C$ 上任意插入分点 $A=A_0,A_1,\cdots ,A_{n-1},A_n=B$, 将其分成 $n$ 个小弧段, 记第 $i$ 个小弧段 $\stackrel{⏜}{A_{i-1}{A}_i}$ 的弧长为 $\mathrm{\Delta }{s}_i,\lambda =\underset{1\le i\le n}{max}\{\mathrm{\Delta }{s}_i\}$. 任取 $({\xi }_i,{\eta }_i)\in \stackrel{⏜}{A_{i-1}{A}_i}(i=1,2,\cdots ,n)$, 作和

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{s}_i$$

如果 $\lambda \to 0$ 时, 上述和式的极限存在, 则称 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上可积, 并将此极限称为数量值函数 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上的曲线积分, 或称为第一类曲线积分, 记作 ${\displaystyle {\int }_{C}f(x,y)\mathrm{d}s}$, 即

$$\underset{C}{\int }f(x,y)\mathrm{d}s=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{s}_i$$

• $f(x,y)$ 被积函数
• $C$ 积分路径
• $\mathrm{d}s$ 弧长微元

应用

物理意义 以 $\mu (x,y)$ 为线密度的质线 $C$ 的质量

$$m=\underset{C}{\int }\mu (x,y)\mathrm{d}s$$

几何意义 以曲线 $C$ 为准线, 高度为 $h(x,y)$ 的柱面 $S$ 的面积可表示为

$$A=\underset{C}{\int }h(x,y)\mathrm{d}s$$

封闭曲线积分

若 $C$ 为封闭曲线, 即 $C$ 的两个端点重合, 则 $f(x,y)$ 在 $C$ 上的第一类曲线积分记为

$$\underset{C}{\oint }f(x,y)\mathrm{d}s$$

存在条件

函数 $f(x,y)$ 在光滑曲线 $C$ 上连续 或 $f(x,y)$ 在 $C$ 上有界且只有有限多个间断点

性质

积分路径无关 第一类曲线积分与积分路径方向无关

线性性 对可积函数 $f,g$, 常数 $\alpha ,\beta$

$${\int }_C[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}s=\alpha {\int }_{C}f(x,y)\mathrm{d}s+\beta {\int }_{C}g(x,y)\mathrm{d}s$$

路径可加性 曲线 $C$ 由 $C_1,C_2$ 首尾相接而成

$${\int }_{C}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{C_1}f(x,y)\mathrm{d}s+{\int }_{C_2}f(x,y)\mathrm{d}s$$

中值定理 设函数 $f$ 在光滑曲线 $C$ 上连续, 则 $\mathrm{\exists }(\xi ,\eta )\in C$, s.t.

$${\int }_{C}f(x,y)\mathrm{d}s=f(\xi ,\eta )s_C$$

• $s_C$ 为曲线弧长

绝对值不等式

$$|{\int }_{C}f(x,y)\mathrm{d}s|\le {\int }_C|f(x,y)|\mathrm{d}s$$

第一类曲线积分的计算

Recall

对于参数方程形式的曲线

$$C:\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}t\in [\alpha ,\beta ]$$

若 $x(t),y(t)$ 有连续导数且为光滑曲线, 弧长微分为

$$\mathrm{d}s=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$

设 $C$ 为光滑曲线, 函数 $f(x,y)$ 在 $C$ 上连续, 则第一类曲线积分:

$$\underset{C}{\int }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t(\alpha <\beta )$$

当曲线 $C$ 的方程为 $y=y(x),x\in [a,b]$ 时

$$\underset{C}{\int }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x(a<b)$$

空间曲线的形式与二维曲线类似

常用技巧

极坐标变换

$${\displaystyle \mathrm{d}s=\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta }$$

对于圆:

$$\mathrm{d}s=r\mathrm{d}\theta$$