原函数与变上限积分

原函数

变上限积分

设 $f\in R[a,b]$，称函数

$$\mathit{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t(x\in [a,b])$$

为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的变上限积分函数，简称变上限积分

• 是上限 $x$ 的函数
• 类似地有变下限函数，可化为负的变上限函数

连续性

变上限函数是闭区间上的连续函数

可导性

设 $f\in R[a,b]$，则变上限函数 $\mathit{\Phi }(x)={\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\in D[a,b]}$，且其导数为

$${\mathit{\Phi }}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x),x\in [a,b]$$

原函数存在性定理

连续的函数必定有原函数

• 仅仅是充分条件
  • 不连续的函数也有原函数
  • $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin {\displaystyle \frac{1}{x^2}},& x\in [-1,0)\cup (0,1]\\ 0,& x=0\end{array}$$
    • 牛顿莱布尼兹公式
• 函数的可积性与是否存在原函数无关
  • 符号函数可积但无原函数
  • 有原函数但不可积（无界）

复合变限积分函数求导

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{\int }_{\psi (x)}^{\phi (x)}f(t)\mathrm{d}t=f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)-f[\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)$$

应用

• 求极限
• 带积分的函数形态研究
• 不等式的证明
  • 积分形式化为变上限函数，然后用函数不等式

牛顿 - 莱布尼兹公式

设 $f\in C[a,b]$，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$$

• 证明
  • 构造变上限积分 $\mathit{\Phi }(x)={\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$，有 $\mathit{\Phi }(a)=0$
  • $\mathit{\Phi }(x)=F(x)+C⟹C=-F(a)$
  • $\therefore {\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=F(x)-F(a)}$
  • 令 $x=b$ 即得
• 用于定积分的计算

定理（减弱条件）

设函数 $f\in R[a,b]$，又 $F(x)\in C[a,b]$，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a,b)$（开区间）内的原函数， 即 $\mathrm{\forall }x\in (a,b):F^{\prime }(x)=f(x)$ 牛顿 - 莱布尼兹公式仍然成立

• 有的函数在端点上没有原函数，仍然可以运用牛顿 - 莱布尼兹公式

定理（进一步减弱条件）

……除了有限个点外，满足 $F^{\prime }(x)=f(x)$，……