规定

$$\begin{array}{c}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x\\ {\int }_a^{a}f(x)\mathrm{d}x=0\end{array}$$

运算性质

线性性

定积分运算是线性运算

• 加减
• 数乘
  • 比如说对 $t$ 积分，则 $x$ 可以提出来

区间可加性

设函数 $f\in R[a,b],c\in (a,b)$，则 $f\in R[a,c],f\in R[c,b]$，且

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

保号性

设函数 $f\in R[a,b]$，且在 $[a,b]$ 上，$f(x)\ge 0$，则$$\int_a^bf(x),\mathrm{d}x\ge0$$

保序性

设函数 $f,g\in R[a,b]$，且在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

• 令 $F(x)=f(x)-g(x)$ 即可

估值不等式

设函数 $f\in R[a,b]$，且在 $[a,b]$ 上，$m\le f(x)\le M$，则

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le M(a-b)$$

• 证明
  • 根据线性性与保序性，
  $$m{\int }_a^b\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le M{\int }_a^b\mathrm{d}x$$
  • 由 ${\displaystyle {\int }_a^b\mathrm{d}x=b-a}$ 即可

绝对值不等式

设函数 $f\in R[a,b]$，则 $|f|\in R[a,b]$，且

$$|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$$

• 积分的绝对值不等式
• 用于估计定积分的值
• 绝对可积
  • $|f|\in R[a,b]$
• 可积函数一定绝对可积，但绝对可积不一定函数可积
  • $|f|$ 的间断点相比 $f$ 只少不多

乘积函数可积性

设函数 $f,g\in R[a,b]$，则 $f\cdot g\in R[a,b]$

• 若 $f^2(x)\in R[a,b]$，则称函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上平方可积
  • 可积函数必定平方可积
  • 反之不一定

施瓦茨 Schwarz 不等式

设函数 $f,g\in C[a,b]$，则有

$${({\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x$$

• 证明
  • 若 ${\displaystyle {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x=0}$，则 $f(x)\equiv 0$，容易证得结论
  • 若 ${\displaystyle {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x=1}$
    • 由 $f(x)g(x)\le {\displaystyle \frac{1}{2}}[f^2(x)+g^2(x)]$
    • 由保序性和线性性，${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\le {\displaystyle \frac{1}{2}}[{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x]=1}$
    • 等于右边
  • 对一般情况进行构造
    • $\phi (x)={\displaystyle \frac{f(x)}{\sqrt{{\displaystyle {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x}}}},\psi (x)={\displaystyle \frac{g(x)}{\sqrt{{\displaystyle {\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x}}}}$
    • 则 ${\displaystyle {\int }_a^b{\phi }^2(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b{\psi }^2(x)\mathrm{d}x=1}$
    • 由上述特殊情况，${\displaystyle {\int }_a^b\phi (x)\psi (x)\mathrm{d}x\le 1}$
    • 整理得施瓦茨不等式
• 称为积分形式的施瓦茨不等式

积分中值定理

定理

设函数 $f\in C[a,b],g\in R[a,b]$，且 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号，则 $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$，s.t.

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$$

推论

令 $g(x)=1$ 设函数 $f\in C[a,b]$，则 $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$，使得

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)$$

• 积分中值公式
• 称 ${\displaystyle \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值
  • 闭区间上的连续函数必能取到它区间上的平均值