• 常微分方程
  • 未知函数为一元函数的微分方程（包含自变量，未知量及其导数的方程）
• 方程的阶
  • 导数最高阶数
• 微分方程的解
  • 若函数 $y=\varphi (x)$ 代入方程使之为恒等式，则该函数为微分方程的解
  • 通解
    • 解中含有一系列任意常数
      • 相互独立
      • 线性无关
      • 个数等于阶数
  • 特解
    • 不含有任意常数的解
    • 确定特解需要定解条件
      • 确定 $n$ 阶方程需要 $n$ 个定解条件
      • 科西条件 / 初值条件
        • 定解条件给定在某个定点时间
        • 利用该值求出常数 $C$

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一阶微分函数的基本形式 $F(x,y,y^{\prime })=0$，讨论 $y^{\prime }=f(x,y)$ 一阶微分方程也未必有解

可分离变量方程

顾名思义，微分方程的变量 $x,y$ 可以相互分离，成为独立的部分相乘

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi (x)\psi (y)$$

其中 $\varphi (x),\psi (y)$ 为连续函数

变形 -> 两边积分

$$\frac{1}{\psi (y)}\mathrm{d}y=\varphi (x)\mathrm{d}x⟹\int \frac{1}{\psi (y)}\mathrm{d}y=\int \varphi (x)\mathrm{d}x+C$$

求解不定积分，此时式子不再含 $y^{\prime }$，为隐函数 $y(x)$，于是为通解

• $y=y_0$ s.t. $\psi (y)=0$ is also a solution

齐次微分方程和其他可化为可分离变量形式的方程

注意！！！ 方程变形时，如果附加条件，会使新方程与旧方程不等价，导致丢失一些解 解方程最后需要寻找通解之外丢失的解

齐次微分方程

齐次微分方程形式如

$$y^{\prime }=g\left(\frac{y}{x}\right)$$

其中 $g$ 为连续函数

可以化为可分离变量方程 令 $y=xu⟹y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$，代入原方程

$$u+x{u}^{\prime }=g(u)⟹\frac{\mathrm{d}u}{g(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$

求出关于 $u$ 的解，再代回 $u={\displaystyle \frac{y}{x}}$

其他一些可化为可分离变量方程的情况

• $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(ax+by+c)(b\ne 0)$$
  • Let $u=ax+by+c$, then ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{1}{b}}({\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}-a)$, therefore:$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=bf(u)+a$$This is a separable differential equation.
• $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)$$
  • When $c_1=c_2=0$, this is a homogeneous equation.
  • When either $c_1,c_2$ isn't zero, while ${\displaystyle \frac{a_1}{a_2}}={\displaystyle \frac{b_1}{b_2}}=\lambda$, the equation can be written as$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{\lambda (a_{2}x+b_{2}y)+c_1}{(a_{2}x+b_{2}y)+c_2}\right),$$which can be transformed into a separable differential equation.
  • When either $c_1,c_2$ isn't zero, while ${\displaystyle \frac{a_1}{a_2}}\ne {\displaystyle \frac{b_1}{b_2}}$, consider varible substitution as such:
    • Take liner equation system
    $$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array},$$find the solution $(x_0,y_0)$.
    • Let $X=x-x_0,Y=y-y_0$, transform the nominator and denominator of the original equation into the liner combination of $X$ and $Y$, i.e.
    $$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=f\left(\frac{a_{1}X+b_{1}Y}{a_{2}X+b_{2}Y}\right).$$
    • This is a homogeneous equation, use $u={\displaystyle \frac{Y}{X}}={\displaystyle \frac{y-y_0}{x-x_0}}$ as a substitution.

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程形如

$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$$

• 其中$P,Q$ 为连续函数

• $Q(x)$ 称为非齐次量或自由项

• 当 $Q(x)=0$，方程 $y^{\prime }+P(x)y=0$ 称为原方程对应的线性齐次微分方程，它可分离变量为

  $$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{y}}=-P(x)\mathrm{d}x⟹\ln |y|=-\int P(x)\mathrm{d}x+C_1\\ \Downarrow \\ y=C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\end{array}$$

• 当 $Q(x)\not\equiv 0$，为非齐次，采用常数变易法

  • 假设解的形式为 $y=C(x)e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$，$C(x)$ 为待定系数，代入得$$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}x}}{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=Q(x)⟹{\displaystyle \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}x}}=Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\\ \Downarrow \\ C(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+\bar{C}\end{array}$$
  • 代入原方程，得到$$y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}(\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+\bar{C})$$

• 一阶线性非齐次方程的通解，可以写成它的一个特解和齐次方程通解之和

  • 线性微分方程解的叠加原理

Bernoulli 方程

$$y^{\prime }-P(x)y=Q(x)y^{\alpha },\alpha \ne 0,1$$

令 $z=y^{1-\alpha }⟹z^{\prime }=(1-\alpha )y^{-\alpha }{y}^{\prime }$，得到 $y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{1-\alpha }}{y}^{\alpha }{z}^{\prime }$ 代入原方程 ${\displaystyle \frac{1}{1-\alpha }}{y}^{\alpha }{z}^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$，两边同时除以 ${\displaystyle \frac{y^{\alpha }}{1-\alpha }}$

$$z^{\prime }+(1-\alpha )P(x)z=Q(x)$$

这是一阶线性微分方程，求解后换回 $y$