2023-09-18

性质

唯一性

定理

数列收敛，极限唯一

$若 lim_{n \to \infty} x_{n} = A, 又 lim_{n \to \infty} x_{n} = B, 则 A = B$
证明反证法

有界性

定理

数列收敛，则数列有界若数列无界，则数列一定发散

有限项无关性

定理

增加、减少或改动有限项，其收敛性不变且在收敛时，极限不变

保序性

定理

$\begin{aligned} 若 lim_{n \to \infty} x_{n} = A, lim_{n \to \infty} y_{n} = B, 且 A > B \\ 则 \exists N \in N, 当 n > N 时, x_{n} > y_{n} \end{aligned}$ 证明

$\begin{aligned} 由 lim_{n \to \infty} x_{n} = A, \exists N_{1}, 当 n > N_{1} 时, x_{n} > \frac{A + B}{2} \\ 由 lim_{n \to \infty} y_{n} = B, \exists N_{2}, 当 n > N_{2} 时, y_{n} < \frac{A + B}{2} \\ ∴ 当 n > max {N_{1}, N_{2}} 时, 有 y_{n} < \frac{A + B}{2} < x_{n} \end{aligned}$

推论保号性

$\begin{aligned} 若 lim_{n \to \infty} x_{n} = A, 且 A > 0 (A < 0), \\ 则 \exists N \in N, 当 n > N 时, x_{n} > \frac{A}{2} > 0 (x_{n} < \frac{A}{2} < 0) \end{aligned}$

先 $> \frac{A}{2}$ ，再 $> 0$
- 保证 $x_{n}$ 不是无穷小

推论1

$\begin{aligned} 数列 {x_{n}}, {y_{n}} 满足 : \exists N \in N, 当 n > N 时, x_{n} \geq y_{n}, \\ 若 lim_{n \to \infty} x_{n} = A, lim_{n \to \infty} y_{n} = B, \\ 则 A \geq B \end{aligned}$

推论2

$\begin{aligned} 数列 {x_{n}} 满足 : \exists N \in N, 当 n > N 时, x_{n} \geq 0, \\ 若 lim_{n \to \infty} x_{n} = A, \\ 则 A \geq 0 \end{aligned}$

若条件改为 $x_{n} > 0$ ，结论仍为 $A \geq 0$
- e.g. $x_{n} = \frac{1}{n}$

2023-09-20

子列

定义

设 ${n_{1}, n_{2}, \dots}$ 是正整数集的一个无穷子集若 $n_{k + 1} > n_{k}, k = 1, 2, \dots$ ，则数列 $x_{n_{1}}, \dots, x_{n_{k}}, \dots$ 称为 ${x_{n}}$ 的一个子数列，简称子列 ${x_{n_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ ，简记为 ${x_{n_{k}}}$

奇子列
- $x_{1}, x_{3}, \dots, x_{2 k - 1}, \dots$
偶子列
- $x_{2}, x_{4}, \dots, x_{2 k}, \dots$

归并性

定理

$极限 lim_{k \to \infty} x_{n} = A ⟺ {x_{n}} 的任一子列 {x_{n_{k}}} 均满足 lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = A$

证明
- $\begin{aligned} \Rightarrow: & 由 lim_{n \to \infty} x_{n} = A, \\ \forall ε > 0, \exists N \in N, 使得当 n > N 时, 有 | x_{n} - A | < ε \\ ∴ \forall ε > 0, \exists K = N, 当 k > K 时, \\ 由 n_{k} \geq k > K = N 知, | x_{n_{k}} - A | < ε . \\ \Leftarrow: & {x_{n}} 是自己的子列 \end{aligned}$
若数列 ${x_{n}}$ 的两个子列均有不同极限，则 ${x_{n}}$ 发散（逆否命题）
定理中A可以推广至 $\infty, \pm \infty$

推论

$极限 lim_{k \to \infty} x_{k} = A ⟺ lim_{k \to \infty} x_{2 k - 1} = lim_{k \to \infty} x_{2 k} = A$

证明
- $\begin{aligned} \Rightarrow: & 由归并性得到 \\ \Leftarrow: & 由极限的定义 \end{aligned}$ $数列 {x_{n}} 无界 ⟺ 数列 {x_{n}} 存在一个无穷大的子列 {x_{n_{k}}}$
证明
- $\begin{aligned} \Leftarrow: & 子列 {x_{n_{k}}} 为无穷大, 必无界 . 所以数列 {x_{n}} 无界 (?) \\ \Rightarrow: & 构造法 \\ \forall G > 0, \exists n \in N_{+}, 使得 | x_{n} | > G, \\ 取 G_{1} = 1, \exists n_{1}, 使得 | x_{n_{1}} | > G_{1} = 1, \\ 取 G_{2} = max {| x_{1} |, \dots, | x_{n_{1}} |} + 1, \exists n_{2} > n_{1}, 使得 | x_{n_{2}} | > G_{2} > 2, \\ 取 G_{3} = max {| x_{1} |, \dots, | x_{n_{2}} |} + 1, \dots \\ \exists n_{k} > n_{k - 1}, 使得 | x_{n_{k}} | > G_{k} > k, \\ \exists 子列 {x_{n_{k}}}, 且 lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = \infty \end{aligned}$

极限的运算

定理（四则运算）

$若 lim_{n \to \infty} x_{n} = A, lim_{n \to \infty} y_{n} = B$

加减数乘
- $lim_{n \to \infty} (k x_{n} + l y_{n}) = k A + l B (k, l \in R)$
乘法
- $lim_{n \to \infty} x_{n} y_{n} = A B$
除法
- $lim_{n \to \infty} (\frac{x_{n}}{y_{n}}) = \frac{A}{B} (B \neq 0)$
证明
- $\begin{aligned} 令 & α_{n} = x) n - A, β_{n} = y_{n} - B, 均为无穷小量 \\ 则 & (k x_{n} + l y_{n}) - (k A + l B) = k (x_{n} - A) + l (y_{n} - B) = k α_{n} + l β_{n} (两边取极限, 下同) \\ x_{n} y_{n} - A B = (A + α_{n}) (B + β_{n}) - A B = A β_{n} + B α_{n} + α_{n} β_{n} \\ \frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{1}{y_{n} B} (x_{n} B - y_{n} A), 下证右端为无穷小量 : \\ x_{n} B - y_{n} A = (α_{n} + A) B - (β_{n} + B) A = α_{n} B - β_{n} A, 为无穷小 \\ 由 lim_{n \to \infty} y_{n} = B 知, lim_{n \to \infty} | y_{n} | = | B | > 0, \\ 再由保号性推论知, \exists N, 当 n > N 时, | y_{n} | > \frac{| B |}{2} > 0, \\ ∴ 当 n > N 时, \frac{1}{| y_{n} |} < \frac{2}{| B |}, \frac{1}{y_{n}} 是有界量 . \end{aligned}$ 极限运算是仅针对有限项的运算四则运算的前提是两个极限存在

推论（乘方）

$若 lim_{n \to \infty} x_{n} = A, k \in N_{+}, 则 lim_{n \to \infty} x_{n}^{k} = A^{k}$ 定理中的 $A, B$ 也可推广至 $+ \infty, - \infty$ 但具有类似 $(+ \infty) + (- \infty), + \infty \cdot 0, \frac{+ \infty}{+ \infty}$ 等含义的计算无意义

无穷的阶次不同一般加上常数或两个同号无穷相加，结果仍为原来的极限

$若 x_{n} \geq 0, lim_{n \to \infty} x_{n} = A \geq 0, 则 lim_{n \to \infty} \sqrt[m]{x_{n}} = \sqrt[m]{A} (m \in N_{+})$

证明
- $\begin{aligned} 若 A = 0, & \forall ε > 0, \exists N \in N, 当 n > N 时, | x_{n} | \leq ε^{m}, \\ 则 \sqrt[m]{x_{n}} \leq ε \\ 若 A > 0, & 由 a^{m} - b^{m} = (a - b) (a^{m - 1} + a^{m - 2} b + \dots + b^{m - 1}), \\ 取 a = \sqrt[m]{x_{n}}, b = \sqrt[m]{A} \\ | \sqrt[m]{x_{n}} - \sqrt[m]{A} | = \frac{x_{n} - A}{({\sqrt[m]{x_{n}}}^{m - 1} + \dots + {\sqrt[m]{A}}^{m - 1})} \leq \frac{| x_{n} - A |}{{\sqrt[m]{A}}^{m - 1}} 为无穷小 \end{aligned}$

书p50 例2.10下的结论

性质 ​

唯一性 ​

定理 ​

有界性 ​

定理 ​

有限项无关性 ​

定理 ​

保序性 ​

定理 ​

推论 保号性 ​

推论1 ​

推论2 ​

子列 ​

定义 ​

归并性 ​

定理 ​

推论 ​

极限的运算 ​

定理（四则运算） ​

推论（乘方） ​

性质

唯一性

定理

有界性

定理

有限项无关性

定理

保序性

定理

推论保号性

推论1

推论2

子列

定义

归并性

定理

推论

极限的运算

定理（四则运算）

推论（乘方）