4.5 随机变量的高阶矩

高阶矩的意义:

<iframe src="https://zhuanlan.zhihu.com/p/570470390" allow="fullscreen" allowfullscreen="" style="height: 100%; width: 100%; aspect-ratio: 1 / 1;"></iframe> (Zhihu's iframe is dead)

原点矩与中心矩

设 $X,Y$ 都是随机变量

若 $E(|X{|}^k)<+\mathrm{\infty }(k=1,2,\cdots )$, 则

$X$ 的 $\mathit{k}$ 阶原点矩 为

$$E(X^k)$$

正态分布的 n 阶中心矩

由 Gamma 函数与对称性可得

$$E(X^n)=\{\begin{array}{ll}0,& n=2k+1,\\ (2k-1)!!{\sigma }^{2k},& n=2k.\end{array}$$

$X$ 的 $\mathit{k}$ 阶中心矩 为

$$E\{[X-E(X){]}^k\}$$

若 $E(|X{|}^k|Y{|}^l)<+\mathrm{\infty }(k,l=1,2,\cdots )$, 则

$X,Y$ 的 $\mathit{k}\mathbf{+}\mathit{l}$ 阶混合原点矩 为

$$E\left(X^k{Y}^l\right)$$

$X,Y$ 的 $\mathit{k}\mathbf{+}\mathit{l}$ 阶混合中心矩 为

$$E\{[X-E(X){]}^k[Y-E(Y){]}^l\}$$

协方差矩阵

设 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是 $n$ 维随机变量, 且其分别都存在二阶矩,

记 $c_{ij}=\mathrm{cov}(X_i,X_j),i,j=1,2,\cdots ,n$,

则 $n$ 维随机变量的协方差矩阵为

$$\mathit{C}=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right)$$

• $\mathit{C}$ 为对称矩阵, 因为 $c_{ij}=c_{ji}$

协方差矩阵的性质

1. 对任意实数 $t_1,t_2,\cdots ,t_n$,$$D(t_1{X}_1+t_2{X}_2+\cdots +t_n{X}_n)=(t_1,t_2,\cdots ,t_n)\mathit{C}\left(\begin{array}{c}{t}_1\\ t_2\\ ⋮\\ t_n\end{array}\right)$$
2. $\mathit{C}$ 为半正定矩阵