极值

局部的最大值与最小值

定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义 若 $\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$，可以定义 $f(x)$ 的一个

• 极大值

  • $f(x)\le f(x_0)$
  • $x_0$ 为极大值点

• 严格极大值

  • $f(x)<f(x_0)(x\ne x_0)$
  • $x_0$ 为严格极大值点

• 极小值

  • $f(x)\ge f(x_0)$
  • $x_0$ 为极小值点

• 严格极小值

  • $f(x)>f(x_0)(x\ne x_0)$
  • $x_0$ 为严格极小值点

• 函数 $f(x)$ 可有极值而没有最值

• 函数 $f(x)$ 可有最值而没有极值

• 若最值点出现在定义区间的内部，则必为极值点

费马定理

定理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取到极值，且 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导 则 $f(x_0{)}^{\prime }=0$

• 证明
  • 不妨设 $f(x_0)$ 是一个极大值
  • 则 $\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in (x_0-\delta ,x_0),{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\ge 0$
  • 由保号性，$\therefore f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\ge 0$

推论

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内部一点 $x_0$ 处取到最值，且 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导 则 $f^{\prime }(x_0)=0$

驻点

若函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime }(x_0)=0$，则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个驻点

• 函数的可导点为驻点是该点为极值点的一个必要条件
• 函数的极值点也可出现在不可导点
• 寻找范围
  • 找极值点
    • 驻点
    • 不可导点
  • 找最值点
    • 驻点
    • 不可导点
    • 端点

微分中值定理

罗尔 (Rolle) 定理

设函数 $f(x)$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导
3. $f(a)=f(b)$ 则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

• 证明
  • 若函数 $f(x)$ 为常值函数，则结论成立
  • 否则，由1知 $f(x)$ 有最大值 $M$ 和最小值 $m$，且 $M\ne m$
  • 再由2
• 在罗尔定理的应用中，可能需要用到凑全微分
• 常被用来计算函数零点的个数
  • 其中唯一性一般利用下列推论（单射性质）
• 常被用来证明介值性问题，即某个函数关系式成立
  • 构造辅助函数

推论

若 $f(x)\in C[a,b]\cap D(a,b)$，且在 $(a,b)$ 上有 $f^{\prime }(x)\ne 0$ 则 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必是单射函数，具有反函数

• 证明
  • 反证法，假设非单射，则 $\mathrm{\exists }{x}_1<x_2$，使得 $f(x_1)=f(x_2)$
  • 又 $f(x)\in C[x_1,x_2]\subset D(a,b)$
  • 由罗尔定理，$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$，矛盾

广义罗尔定理推论1

设 $f(x)\in C[a,+\mathrm{\infty })\cap D(a,+\mathrm{\infty })$，若 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=f(a)$ 则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,+\mathrm{\infty })$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

• 证明
  • 需要用到费马引理，最大值存在且不在端点处

广义罗尔定理推论2

设 $f(x)\in D(a,b)$，若 $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=A$， 则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

广义罗尔定理推论3

设 $f(x)\in D(a,b)$，若 $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$，或同为 $-\mathrm{\infty }$ 则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

拉格朗日 (Lagrange) 中值定理

$f(x)\in C[a,b]\cap D(a,b)$， 则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得 $$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

• 当 $f(a)\ne f(b)$ 时可用
• 某一点处切线斜率等于割线斜率
• 证明
  • 令 $F(x)=f(x)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$，
  • 此时 $F(a)=f(a)=F(b)$
  • 使用罗尔定理
• 常用于证明
  • 等式
    • 导函数恒为 0
  • 不等式
    • 利用定理结论

拉格朗日中值公式

$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$

若记 $a=x_0,b=x_0+\mathrm{\Delta }x,\xi =x_0+\theta \mathrm{\Delta }x\in (a,b),\theta \in (0,1)$， 则有

$$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x,\theta \in (0,1)$$

称为有限增量公式

• $\theta$ 随 $\mathrm{\Delta }x$ 而变化
• 参照 $f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$

推论

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上满足 $f^{\prime }(x)=0$，则 $f(x)$ 为常数

• 证明

推论

若在区间 $I$ 上满足 $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$，则 $f(x)-g(x)=C$

科西 (Cauchy) 中值定理

设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$ 则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得

$${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\displaystyle \frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}}$$

• 证明
  • ……
  • 构造辅助函数 $F(x)=f(x)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}[g(x)-g(a)]$
• 拉格朗日中值定理的参数方程化表达，通过参数方程构造辅助函数

达布定理

引理

若函数 $f(x)\in D[a,b]$，且 $f_{+}^{\prime }(a)<0<f_{-}^{\prime }(b)$， 则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

• 证明
  • 由 $f(x)\in D[a,b]$ 知，$f(x)\in C[a,b]$，有最小值 $m$，
  • 由 $f_{+}^{\prime }(a)<0$，由保号性，在 $a$ 的一个右邻域内，${\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}<0$，
  • 此时 $f(a)>f(x)>m$，同理 $f(b)>m$，
  • $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内某点 $\xi$ 取得最小值，根据费马定理 $f^{\prime }(\xi )=0$

定理

若函数 $f(x)\in D[a,b]$，且 $f_{+}^{\prime }(a)<f_{-}^{\prime }(b)$， 则 $\mathrm{\forall }c\in (f_{+}^{\prime }(a),f_{-}^{\prime }(b)),\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=c$

• 证明
  • 构造辅助函数 $F(x)=f(x)-cx$，
  • 有 $F(x)\in D[a,b]$，且 $F_{+}^{\prime }(a)<0<F_{-}^{\prime }(b)$
  • 由引理，$\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$，使得 $F^{\prime }(\xi )=0$，
  • 即 $f^{\prime }(\xi )=c$
• 描述了闭区间上导函数的性质
  • 并非任何一个函数都可以是某个函数的导函数
• 导函数具有与介值定理相似的性质
  • 但导函数不必连续
• 导函数不存在第一类间断点

导函数极限定理

设函数 $f(x)\in C[x_0,x_0+\delta )\cap D(x_0,x_0+\delta )$， 若 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=A$， 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有右导数，且 $f_{+}^{\prime }(x_0)=A$ 对左极限与左导数，同理

• 证明
  • ……
• 导函数的极限断续地趋近 $A$
• 导函数在某点的极限不存在，不一定意味着该点处导数不存在

推论

设函数 $f(x)\in C(U(x_0))\cap D(\mathring{U}(x_0))$，若 $\underset{x\to x_0}{lim}{f}^{\prime }(x)=A$ 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处也可导，且 $f^{\prime }(x_0)=A$

推论 导函数不存在第一类间断点

设函数 $f(x)\in D(a,b)$， 其导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内不存在第一类间断点

• 证明
  • ……
• 求分段函数的导数或左右导数