如何求出一个函数，使其导数成为一个给定形式的函数呢？ 乘上一个全微分因子

• 常见全微分因子
  • $e^{-x}$
  • $x^k$
  • $(e^{2x}{)}^{(n)}=2^n{e}^{2x}$

例子

要使得某一函数的导数具有$f^{\prime }(x)-f(x)$的形式 注意到$e^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))={(e^{-x}f(x))}^{\prime }$ 则有$F(x)=e^{-x}f(x),F^{\prime }(x)=e^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))$

Rolle 定理常用辅助多项式

$\cdots ,\mathrm{\exists }\xi \in (a,b):$

• $f^{\prime }(\xi )=0$
• $f^{\prime }(\xi )=k$
  • 构造 $F(x)=f(x)-kx$
• $f^{″}(x)=0,f^{‴}(x)=0$
  • 多次 Rolle
• $f^{(n)}(x)=k$
  • 构造 $F(x)=f(x)-P_n(x)$，其中 $P_n(x)$ 最高次为 $n$，使用 $n$ 次 Rolle