概念

原函数

定义

设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上有定义，若存在 $F(x)$，

$$F^{\prime }(x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in I$$

则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的一个的原函数

原函数族

设F(x)是函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，则 $F(x)+C(C\in \mathbb{R})$为 $f(x)$ 在 $I$ 上的全体原函数

原函数存在定理

若函数 $f$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f$ 在 $I$ 上存在原函数 $F$

定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上存在原函数，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的全体原函数为 $f(x)$ 在 $I$ 上的不定积分，记作

$$\int f(x)\mathrm{d}x$$

• ${\displaystyle \int }$ 不定积分号
• $f(x)$ 被积函数
• $x$ 积分变量

不定积分常数

设 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，则

$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$$

其中 $C$ 为任意常数

• 注意一定要加上不定积分常数 $C$

基本积分表

导数与积分互换

若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上存在原函数，则

$$(\int f(x)\mathrm{d}x{)}^{\prime }=f(x)$$

积分线性运算

若函数 $f(x),g(x)$ 在区间 $I$ 上都存在原函数，$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ 且不同时为零，则

$$\int [\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x=\alpha \int f(x)\mathrm{d}x+\beta \int f(x)\mathrm{d}x$$

第一换元法

$$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x=F[\phi (x)]+C$$$$\begin{array}{c}\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int f[\phi (x)]\mathrm{d}[\phi (x)]\stackrel{u=\phi (x)}{=}\int f(u)\mathrm{d}u\\ =F(u)+C=F(\phi (x))+C\end{array}$$

• 凑微分法
  • 凑出中间变量 $u=\phi (x)$，把积分转化为易求出原函数的积分 ${\displaystyle \int f(u)\mathrm{d}u=\int f[\phi (x)]\mathrm{d}[\phi (x)]}$

第二换元法

利用第一换元法中的右侧积分求左侧积分

定理（反函数）

设函数 $x=\phi (t)$ 在区间 $I$ 上可导且导数 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$， 且${\displaystyle \int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F(t)+C}$，则

$$\int f(x)\mathrm{d}x=F[{\phi }^{-1}(x)]+C$$

其中 $t={\phi }^{-1}(x)$ 是 $x=\phi (t)$ 的反函数

$$\int f(x)\mathrm{d}x\stackrel{x=\phi (t)}{=}\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F(t)+C=F[{\phi }^{-1}(x)]+C$$

• 无理式用三角变换去根号
  • $\sqrt{x^2+a^2}={\displaystyle \frac{a}{\cos t}}$ 用 $x=a\tan t$
  • $\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan t|$ 用 $x=a\sec t$
  • $\sqrt{a^2-x^2}$ 用 $x=a\sin t$
• 被积函数分母为 $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ 时，使用上述换元法
  • 化为 $m\sqrt{(x+k{)}^2-t^2}$
• 当被积函数的分母含有因子 $x^n$ 时
  • 采用倒置变化 $x={\displaystyle \frac{1}{t}}$

分部积分法

定理

设函数 $u(x),v(x)$ 在区间 $I$ 上可导，且 ${\displaystyle \int u^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x}$ 存在，则

$$\int u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x$$

分部积分公式

由 $v^{\prime }\mathrm{d}x=\mathrm{d}v,\mathrm{d}u=u^{\prime }\mathrm{d}x$，

$$\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x=\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u=uv-\int u^{\prime }v\mathrm{d}x$$

• 实际应用中， 选择容易求出的 $u,\mathrm{d}v$
  • $\text{s.t.}{\displaystyle \int v\mathrm{d}u}$ 比 ${\displaystyle \int u\mathrm{d}v}$ 更容易求出
  • $v^{\prime }\mathrm{d}x=\mathrm{d}v$
• 常用分部法
  • 善用 $v=x⟹v^{\prime }=1$
  • 幂指相乘，幂函数乘三角函数类
    • 使指数、三角函数成为 $v^{\prime }$ 缩到 $\mathrm{d}v$ 里
  • 幂函数乘对数函数、幂函数乘反三角函数
    • 使幂函数成为 $v^{\prime }$
  • 指数函数乘三角函数
    • 两次分部积分
  • 分部积分建立方程，求解不定积分
    • e.g. 分部积分法建立不定积分的函数方程
    • e.g. 书 p255 例 5.40
  • 当所求积分含有某个函数的 $n$ 次幂，可以分部积分建立递推关系

分部积分求积分递推公式

• 最终形式 $I_n=F(x)+I_{n-k}$
• 列出首项 $I_0=F_0(x),I_1=F_1(x),\cdots ,I_{k-1}=F_{k-1}(x)$

常见函数的不定积分

有些不定积分无法积出 但对有理函数和三角函数有理式的不定积分，一定可以计算

1. 有理函数的不定积分

有理函数

两个实系数多项式的商，形式为

$$R(x)={\displaystyle \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}$$

其中 $P_n(x),Q_m(x)$ 分别为 $n,m(\in \mathbb{N})$ 次是系数多项式 一般认为两者无公因式

• 假分式 $n\ge m$
  • 可化为真分式与多项式之和
• 真分式 $n<m$
  • 由代数基本定理，可分解为四种部分分式之和
    1. ${\displaystyle \frac{A}{x-a}}$
    2. ${\displaystyle \frac{A}{(x-a{)}^k}}$
    3. ${\displaystyle \frac{Bx+D}{x^2+px+q}}$
    4. ${\displaystyle \frac{Bx+D}{(x^2+px+q{)}^k}}$
    • $k>1,k\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{+}},\mathrm{\Delta }=p^2-4q<0$
    • $A,B,D$ 为待定常数

四个部分分式的不定积分

• 类型 1,2 易得
• 类型 3,4
  • 配方法
  $$\begin{array}{rl}\int {\displaystyle \frac{Bx+D}{x^2+px+q}}& ={\displaystyle \frac{B}{2}}\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}(x^2+px+q)}{x^2+px+q}}+{\displaystyle \frac{2D-Bp}{2}}\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}(x+{\displaystyle \frac{p}{2}})}{{(x+{\displaystyle \frac{p}{2}})}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2}}\right)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{B}{2}}\ln (x^2+px+q)+{\displaystyle \frac{1}{a}}\arctan {\displaystyle \frac{u}{a}}+C\end{array}$$

有理真分式的部分分式展开法

• 分母 $Q(x)$ 分解因式，只含两种类型 $(x-a{)}^k,(x^2+px+q{)}^k,(k\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{+}},\mathrm{\Delta }=p^2-4q<0)$

• $R(x)$ 分解式

  • 当 $Q(x)$ 含有因式 $(x-a{)}^k$，分解式有
  $${\displaystyle \frac{A_1}{x-a}}+{\displaystyle \frac{A_2}{(x-a{)}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{A_k}{(x-a{)}^k}}$$
  • 当 $Q(x)$ 含有因式 $(x^2+px+q{)}^k$，分解式有
  $${\displaystyle \frac{B_{1}x+D_1}{x^2+px+q}}+{\displaystyle \frac{B_{2}x+D_2}{(x^2+px+q{)}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{B_{k}x+D_k}{(x^2+px+q{)}^k}}$$

• 通分之后，对比分子与分母的系数，列线性方程组，求出 $A_i,B_i,D_i$

• 逐项积分

• 还可利用赋值法

  • 通分之后，对 $x$ 赋值，使得一些因式等于零，从而直接求出非零因式前系数的值

• 非标准方法

  • 拆项
    • 见书 p.259
  • 变量代换

2. 三角函数有理式的积分

三角有理式

形如 $R(\sin x,\cos x)$ 的函数，其中 $R(u,v)$ 为对 $u,v$ 进行运算的表达式

三角有理式的代换法

• 特殊型
  1. ${\displaystyle \int R(\sin x)\cos x\mathrm{d}x}$ 和 ${\displaystyle \int R(\cos x)\sin x\mathrm{d}x}$ 型
     • 令 $\sin x=u$（前），$\cos x=u$（后）
  2. ${\displaystyle \int R({\sin }^{2}x,{\cos }^{2}x)\mathrm{d}x}$ 型，即含有两者的偶次幂
     • $\tan x=u⟹1+u^2=1+{\tan }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$
     • ${\displaystyle \int R({\sin }^{2}x,{\cos }^{2}x)\mathrm{d}x=\int R({\displaystyle \frac{u^2}{1+u^2}},{\displaystyle \frac{1}{1+u^2}}){\displaystyle \frac{1}{1+u^2}}\mathrm{d}u}$
  3. ${\displaystyle \int \cos mx\cos nx\mathrm{d}x,\int \sin mx\sin nx\mathrm{d}x,\int \cos mx\sin nx\mathrm{d}x}$ 型
     • 积化和差
• 一般类型 ${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x}$
  • 使用万能代换，令 $t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$，
  $$\sin x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}},\cos x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}},\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}}$$
  • ${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int R({\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}},{\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}){\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}\mathrm{d}t}$

3. 无理函数的积分

当被积函数中含有根式 $\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}}(ad-bc\ne 0)$ 时，采取第二换元法去根号，化为有理函数的积分 将无理函数中的 $\sqrt{\mathrm{\forall }}$ 直接设为新的积分变量 $t=\sqrt{\mathrm{\forall }}$，两边平方

4. 无法求出的情况

若函数 $f(x)$ 的原函数不是初等函数，则“积不出”

$$\int e^{-x^2}\mathrm{d}x,\int {\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\mathrm{d}x,\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\ln x}},\int \sin (x^2)\mathrm{d}x,\int \sqrt{1-{\epsilon }^2{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x(0<\epsilon <1)$$