3.5 多维随机变量函数的分布

有时候分布已知, 但要求多个随机变量的函数的概率分布

多维离散型随机变量函数的分布

设 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},(i,j=1,2,\cdots )$, $z=g(x,y)$ 为一个二元函数, $Z=g(X,Y)$ 为随机变量 $(X,Y)$ 的函数

假设 $Z$ 的全部不同取值记为 $z_k$, 并且所有使得 $g(x,y)=z_k$ 的点记为 $(x_{i_k},y_{j_k})$, 即 $z_k=g(x_{i_k},y_{j_k})$, 则 $Z$ 的分布律

$$P(Z=z_k)=P(g(X,Y)=z_k)=\sum _{g(x_{i_k},y_{j_k})=z_k}P(X=x_{i_k},Y=y_{j_k}),k=1,2,\cdots$$

特别地, 当 $Z=X+Y$ 时,

$$P(Z=r)=P(X+Y=r)=\sum _{i=0}^{r}P(X=i,Y=r-i)$$

进一步, 当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时, 若 $P(X=k)=a_k,P(Y=k)=b_k,k=0,1,2,\cdots$, 则 $Z=X+Y$ 的分布律满足离散卷积公式

$$P(Z=r)=\sum _{i=0}^{r}P(X=i)P(Y=r-i)=\sum _{i=0}^r{a}_i{b}_{r-i}$$

性质

1. Poisson 分布的可加性 (可推广到多个)

   若随机变量 $X,Y$ 相互独立, 且都服从 Poisson 分布, 即 $X\sim P({\lambda }_1),Y\sim P({\lambda }_2)$, 则其和也服从 Poisson 分布, 即

   $$X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$$

2. ⼆项分布的可加性

   若随机变量 $X,Y$ 相互独立, 且都服从二项分布, 即 $X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p)$, 则其和也服从二项分布, 即

   $$X+Y\sim B(n+m,p)$$

多维连续型随机变量函数的分布

方法:

1. 从 $Z$ 的分布函数出发, 将 $Z$ 的分布函数转化为 $(X,Y)$ 的事件
2. 建立新的二维随机变量 $(Z,X)$ 或 $(Z,Y)$, 由边缘分布求 $Z$ 的概率密度函数

设 $(X,Y)$ 的联合概率密度为 $f(x,y)$, $g(x,y)$ 是一个二元函数 令 $Z=g(X,Y)$, 则 $Z$ 的分布函数

$$F_Z(z)=P(Z\le z)=P(g(X,Y)\le z)=\underset{g(x,y)\le z}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

若有非负可积函数 $f_Z(z)$, 使得

$$F_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^z{f}_Z(u)\mathrm{d}u$$

则随机变量函数 $Z=g(X,Y)$ 的概率密度为

$$f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z)$$

基本方法

和的分布 $Z=X+Y$

$$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,z-x)\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(z-y,y)\mathrm{d}y$$

若 $X,Y$ 相互独立, 则

$$\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(x)\cdot f_Y(z-x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(z-y)\cdot f_Y(y)\mathrm{d}y\stackrel{\mathrm{△}}{=}{f}_X\ast f_Y(z)\end{array}$$

函数 $f_Z(z)$ 称为称为函数 $f_X(x)$ 与 $f_Y(y)$ 的卷积

线性函数的分布 $Z=aX+bY+c$

更一般地, 设 $Z=aX+bY+c$, $a,b,c$ 为常数, $a,b\ne 0$,

$$f_Z(z)=\frac{1}{|b|}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t,\frac{z-at-c}{b})\mathrm{d}t=\frac{1}{|a|}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(\frac{z-bt-c}{a},t)\mathrm{d}t$$

商的分布 $Z={\displaystyle \frac{X}{Y}}$

推导过程

$Z$ 的分布函数

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P({\displaystyle \frac{X}{Y}}\le z)\\ & =\underset{\frac{x}{y}\le z}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{d}y{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{yz}f(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\mathrm{d}y{\int }_{yz}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$

概率密度为

$$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(yz,y)|y|\mathrm{d}y$$

若 $X,Y$ 相互独立, 则

$$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(yz)\cdot f_Y(y)|y|\mathrm{d}y$$

平方和的分布 $Z=X^2+Y^2$

$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z<0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }f(\sqrt{z}\cos \theta ,\sqrt{z}\sin \theta )\mathrm{d}\theta ,}& z⩾0\end{array}$$

极值的分布 $M=max\{X,Y\},N=min\{X,Y\}$

离散型随机变量: 直接计算

连续型随机变量: (注意是分布函数) 设 $X,Y$ 相互独立,

$$\begin{array}{rl}{F}_M(u)& =P(max\{X,Y\}\le u)\\ & =P(X\le u,Y\le u)\\ & =P(X\le u)\cdot P(Y\le u)\\ & =F_X(u)\cdot F_Y(u)\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{F}_N(v)& =P(min\{X,Y\}\le v)\\ & =1-P(X>v,Y>v)\\ & =1-P(X>v)\cdot P(Y>v)\\ & =1-(1-F_X(v))\cdot (1-F_Y(v))\end{array}$$

推广: $n$ 个相互独立的随机变量

采用连乘形式

正态分布可加性

若 $(X,Y)$ 是二维正态随机变量, $W,V$ 分别是 $X,Y$ 的线性组合, 则 $(W,V)$ 也是二维随机变量

*变量代换法

设已知二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度函数 $f_{XY}(x,y)$, 构造一个新的二维随机变量 $(Z,V)$, 满足

$$\{\begin{array}{l}Z=g(X,Y)\\ V=r(X,Y)\end{array}$$

设 $\{\begin{array}{l}z=g(x,y)\\ v=r(x,y)\end{array}$ 存在唯一的反函数 $\{\begin{array}{l}x=h(z,v)\\ y=s(z,v)\end{array}$

其中 $h,s$ 有连续偏导数, 记雅可比行列式

$$J=\left|\begin{array}{cc}{h}_z& h_v\\ s_z& s_v\end{array}\right|$$

则

$$f_{ZV}(z,v)=f_{XY}(h(z,v),s(z,v))|J|$$