10.4 Gauss 公式

定义

设空间闭区域 $\mathit{\Omega }$ 由光滑或分片光滑的曲面 $S$ 所围成, 向量值函数

$$\mathit{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$

在 $\mathit{\Omega }$ 上具有连续偏导数, 则有

$${\subset \supset \iint }_{S^{+}}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iiint }_{\mathit{\Omega }}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V$$

其中 $S^{+}$ 表示 $\mathit{\Omega }$ 的边界曲面的外侧

• Gauss 公式揭示了空间区域 $\mathit{\Omega }$ 上三重积分与其边界 $S^{+}$ 上曲面积分之间的内在联系, 它是 Green 公式的一个推广, 因此也是 Newton-Leibniz 公式在三维情况下的推广

体积计算公式

$$V_{\mathit{\Omega }}={\displaystyle \frac{1}{3}}{\subset \supset \iint }_{S^{+}}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

通量和散度

通量 设有向量场

$$\mathit{F}=P(x,y,z)\mathit{i}+Q(x,y,z)\mathit{j}+R(x,y,z)\mathit{k},(x,y,z)\in \mathit{\Omega }$$

其中 $P,Q,R$ 具有一阶连续偏导数, $\mathit{\Sigma }$ 为场中的定侧曲面 则向量场 $\mathit{F}$ 通过定侧曲面 $\mathit{\Sigma }$ 的通量为

$$\mathit{\Phi }={\iint }_{\mathit{\Sigma }}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}S$$

散度 若 $M(x,y,z)$ 为这个场中任一点, 则向量场 $\mathit{F}$ 在点 $M$ 处的散度 $\mathrm{div}\mathit{F}$ 为

$$\mathrm{div}\mathit{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

• 向量场 $\mathit{F}$ 的散度 $\mathrm{div}F$ 是一个数量场, 称为散度场

散度表示 Gauss 公式 (散度定理)

$${\subset \supset \iint }_{S^{+}}\mathit{F}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{div}\mathit{F}\mathrm{d}V$$

它表明向量场 $\mathit{F}$ 通过有向闭曲面 $S$ 的通量等于它的散度 $\mathrm{div}\mathit{F}$ 在由 $S$ 包围的区域 $\mathit{\Omega }$ 上的三重积分