10.2 第二类曲线积分

定义

略

物理意义

设有一个质点在连续变化的力场

$$\mathit{F}(x,y)=P(x,y)\mathit{i}+Q(x,y)\mathit{j}$$

的作用下从点 $A$ 沿光滑平面曲线 $C$ 移动到点 $B$, 上述移动过程中变力 $F$ 所做的功即为

$$W={\int }_C\mathit{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathit{r}$$

计算

参数方程形式 设平面光滑曲线 $C$ 的参数方程为

$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}t:\alpha \to \beta$$

向量值函数在 $C$ 上连续

$$\mathit{F}(x,y)=P(x,y)\mathit{i}+Q(x,y)\mathit{j}$$$$\begin{array}{rl}{\int }_C\mathit{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathit{r}& ={\int }_{C}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\{P[x(t),y(t)]x^{\prime }(t)+Q[x(t),y(t)]y^{\prime }(t)\}\mathrm{d}t\end{array}$$

• 实际上是在算这个东西 $\{\begin{array}{l}\mathrm{d}x=x^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ \mathrm{d}y=y^{\prime }(t)\mathrm{d}t\end{array}$ 把它代入式子就能得到了
• 注意积分上下限

直角坐标形式 把以上 $x$ 看作参数

$${\int }_{C}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_a^b[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime }(x)]\mathrm{d}x$$

• $\mathrm{d}y=y^{\prime }(x)\mathrm{d}x$

高维形式 与二维类似

平行坐标轴化简

当 $C$ 为平行于 $x$ 轴的定向直线段时, 由于 $y^{\prime }(x)=0$,

$${\int }_{C}Q(x,y)\mathrm{d}y=0$$

同样, 当 $C$ 为平行于 $y$ 轴的定向直线段时,

$${\int }_{C}P(x,y)\mathrm{d}x=0$$