2.3 连续型随机变量及其概率密度

总结

均匀分布 (Uniform distribution) $X\sim U(a,b)$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}},& a<x<b,\\ 0,& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}.\end{array}F(X)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a,\\ {\displaystyle \frac{x-a}{b-a}},& a\le x<b,\\ 1,& x\ge b.\end{array}$$

指数分布 (Exponential distribution) $X\sim E(\lambda )$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x\ge 0.\end{array}$$

正态分布 (Normal distribution) $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ -> 标准正态分布 $X\sim N(0,1)$

$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}\exp (-{\displaystyle \frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}),-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

• $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 变换为标准正态分布 $Y={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}$

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连续型随机变量在一个连续区间上取值

连续性随机变量的概率密度

定义

设 $X$ 是⼀随机变量, $F(X)$ 是它的分布函数, 若存在一个非负可积函数 $f(x)$ 使得

$$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)\mathrm{d}t,-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

则称 $X$ 为连续型随机变量, $f(x)$ 为它的概率密度函数 (概率密度/密度函数), $f(x)$ 可记为 $f_X(x)$

• 分布函数连续
• 对于一个随机变量 $X$, 概率密度 $f(x)$ 不唯一, 允许其在有限或者可列无穷多个点处的函数值不同

性质

1. 非负性 $f(x)\ge 0$
2. 规范性 ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x=F(+\mathrm{\infty })=1}$

上述两条性质是检验⼀个函数能否作为连续型随机变量的概率密度的标准

3. 在 $f(x)$ 的连续点 $x$ 处, 有 $f(x)=F^{\prime }(x)$
4. $f(x)$ 描述了 $X$ 在 $x_0$ 附近单位长度的区间内取值的概率, 即 $P(x_0<X\le x_0+\mathrm{\Delta }x)\approx f(x_0)\mathrm{\Delta }x$
5. 若 $a$ 是随机变量 $X$ 的⼀个可能的取值, 则 $P(X=a)=0$
6. 对任意实数 $a,b(a<b)$, 有$$\begin{array}{c}P(a<X\le b)=P(a\le X\le b)=P(a<X<b)=P(a\le X<b)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\\ P(X\le b)=P(X<b)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)\mathrm{d}x\\ P(X>a)=P(X\ge a)={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$$$$$

常见连续型随机变量的分布

均匀分布

$X$ 服从区间 $(a,b)$ 上的均匀分布, 记为 $X\sim U(a,b)$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}},& a<x<b,\\ 0,& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}.\end{array}$$

top=2;bottom=-1
left=-1;right=2
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y = \{0<x<1:\frac{1}{1-0}, x\le0:0, x\ge1:0\}

分布函数为

$$F(X)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a,\\ {\displaystyle \frac{x-a}{b-a}},& a\le x<b,\\ 1,& x\ge b.\end{array}$$

top=2;bottom=-1
left=-1;right=2
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y=\{x<0:0, x<1:x, x\ge1:1\}

Info

$X$ 落在 $(a,b)$ 内任何长为 $d-c$ 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与长度成正比 -> 几何概型

应用:

• 大量数值计算时, 小数点后 $k$ 位四舍五入, 产生误差看作 $X\sim U(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {10}^{-k},{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {10}^{-k})$

指数分布

$X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 记为 $X\sim E(\lambda )$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

top=2;bottom=-1
left=-1;right=10
---
y=\{x>0:1.5\exp(-1.5*x), x\le 0:0\}

分布函数为

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x\ge 0.\end{array}$$

top = 2; bottom = -1;
left = -1; right = 10;
---
y = \{x\ge 0:1 - \exp(-1.5x), x<0:0\}

对任意 $0<a<b$,

$$P(a<X<b)={\mathrm{e}}^{-\lambda a}-{\mathrm{e}}^{-\lambda b}$$

应用: 作为 “寿命” 分布的近似

指数分布的无记忆性

若 $X\sim E(\lambda )$,

$$P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$$

已经用了 $s$ 小时, 还能用 $t$ 小时的概率

泊松分布与指数分布关系

一段时间内顾客来的概率服从泊松分布, 则时间间隔服从指数分布 (ppt p21)

正态分布 (Gaussian 分布)

$X$ 服从参数为 $\mu ,\sigma$ 的正态分布, 记为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}\exp (-{\displaystyle \frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}),-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

left=-5; right=5;
top=0.5;bottom=-0.2;
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y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*\exp(-\frac{x^2}{2})

性质

1. 直线关于 $x=\mu$ 对称: $f(\mu +x)=f(\mu -x)$

   最大值 $f(\mu )={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}$

   渐近线 $x$ 轴

   拐点 $x=\mu \pm \sigma$

2. $\sigma$ 形状参数

   • 与曲线陡峭程度成反比
   • 与数据分散程度成正比

   $\mu$ 位置参数

   • 对称轴的位置

$3\sigma$ 原理

正态变量

1. 受众多独立随机因素影响
2. 每一因素的影响是微小的
3. 正负影响可以叠加

标准正态分布

$X^{\ast }\sim N(0,1)$ 为标准正态分布

密度函数

$$\phi (x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}},-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

分布函数 (值可查表 -> [[Standard Normal Table]])

$$\mathit{\Phi }(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t,-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$$

性质:

• $\mathit{\Phi }(-x)=1-\mathit{\Phi }(x)$
• $P(|X^{\ast }|\le a)=2\mathit{\Phi }(a)-1$

将一般正态分布转换为标准正态分布

一般正态分布可以由线性变换 $Y={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}$ 转化为标准正态分布:

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$, 则 $X^{\ast }={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}$

一般正态分布概率的计算可以转化为标准正态分布的概率来计算:

若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$, 则 $F(x)=\mathit{\Phi }\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)$

^83b494

标准正态分布上的 $\alpha$ 分位数 $z_{\alpha }$

标准正态分布上的 $\alpha$ 分位数 $z_{\alpha }$: $P(X>z_{\alpha })=\alpha (\alpha \in (0,1))$ 常用数据:

• $z_{0.05}=1.645$
• $z_{0.025}=1.96$