省流版

注：所有的非齐次项都可以拆分为多个特解相加

齐次常系数微分方程的通解

二元

对于 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$ 采用特征根法 $r^2+pr+q=0$029常系数微分方程

多元

029常系数微分方程

非齐次常系数微分方程的特解

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$$

注意：非齐次项为 $f(x)+g(x)+\cdots$ 形式时，可以拆分出多个待定特解，分别求出

多项式形式

029常系数微分方程 有特解 029常系数微分方程

• 列出 $m+1$ 个线性方程，解出待定系数 $B_i$
• $k$ 为 $\lambda$ 与特征方程 $r_2+pr+q=0$ 根的重数 $0,1,2$

三角函数形式

029常系数微分方程 有特解 029常系数微分方程

• $k$ 为 $\alpha +\beta i$ 作为特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的根的重数 $0,1$
• $A(x),B(x)$ 为 $m$ 次待定多项式

特殊情形

利用常数变易法 见顾老师课上以及小班课例题6

欧拉方程

二阶

$$x^2{y}^{″}+px{y}^{\prime }+qy=0$$

令 $x=e^t$，方程化为 $[D(D-1)-pD+q]y=0$，于是特征方程 $$r(r-1)+pr+q=0$$ 求出通解，再用 $t=\ln |x|$ 代回

高阶

$$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=0$$

代换得到

$$x^k{y}^{(k)}=D(D-1)\cdots +(D-k+1)y$$

注：绝对值可否去除问题

$C|x|=C^{\prime }x$ 可以去 $a|x|$ 不能去 $\ln |x|$ 不能去

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补充：复数

辐角与模长

$$z=a+bi=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

复数的指数表示

由 $e$ 的定义，$e^x=lim{}_n\to \mathrm{\infty }{(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^n$，

$$e^{\alpha +i\beta }={(1+{\displaystyle \frac{\alpha +i\beta }{n}})}^n=e^{\alpha }(\cos \beta +i\sin \beta )$$

欧拉公式

$$e^{i\beta }=\cos \beta +\sin \beta ⟹e^{i\pi }+1=0$$

常系数线性齐次方程

对于 $C^n$ 上的线性映射 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}$（微分算子）具有线性性，故对于 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$，可看作微分算子多项式 ${\left({\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\right)}^2+p{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\right)}^1+q{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\right)}^0$ 作用在 $y$ 上 由于它是一个算子，故它有特征值 ${\lambda }_i$ 与对应的特征向量 $r{e}^{\lambda {}_{i}x}$ s.t. ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{e}^{{\lambda }_{i}x}=r{e}^{{\lambda }_{i}x}$ 将以上多项式分解，即

$$({\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}-{\lambda }_1)({\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}-{\lambda }_2)=0⟹(r-{\lambda }_1)(r-{\lambda }_2)=0$$

亦即求解关于 $r$ 的方程，即可求出特征值

$$r^2+pr+q=0$$

s.t. $(r^2+pr+q)e^{rx}=0$ 该方程为特征方程，求出的两根 $r_1,r_2$ 为特征根

分类讨论 (Folded)

1. 相异实根 $r_1,r_2$，$p^2-4q>0$
   • $e^{r_{1}x},e^{r_{2}x}$ 均为特解且线性无关
   • 通解为 $y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
2. 二重实根 $r$，$p^2=4q,r=-{\displaystyle \frac{p}{2}}$
   • $e^{rx}$ 为一个解
   • 由 Liouville 公式，另一个线性无关解为 $x{e}^{rx}$
3. 共轭复根 $\alpha +i\beta ,\alpha -i\beta$，$p^2-4q<0$
   • 有复数形式的基本解组 $e^{(\alpha +\beta i)x},e^{(\alpha -\beta i)x}$
   • 由复数形式的指数公式，$e^{\alpha x}(\cos \beta x+i\sin \beta x),e^{\alpha x}(\cos \beta x-i\sin \beta x)$，相加减即得
   • 实数形式的基本解组 $e^{\alpha x}\cos \beta x,e^{\alpha x}\sin \beta x$

二阶线性齐次常系数微分方程通解的情况

特征根情况	通解形式
相异实根 $r_1,r_2$	$C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
相同实根 $r$	$C_1{e}^{rx}+C_{2}x{e}^{rx}$
共轭复根 $\alpha +i\beta ,\alpha -i\beta$	$C_1{e}^{\alpha x}\cos \beta x+C_2{e}^{\alpha x}\sin \beta x$

^fc07db

$n$ 阶线性齐次常系数微分法方程解的组成

特征根情况	对应函数
单实根 $r$	$e^{rx}$
$k$ 重实根 $r$	$e^{rx},x{e}^{rx},\cdots ,x^{k-1}{e}^{rx}$
单重共轭复根 $\alpha +i\beta ,\alpha -i\beta$	$e^{\alpha x}\cos \beta x,e^{\alpha x}\sin \beta x$
$k$ 重共轭复根	$e^{\alpha x}\cos \beta x,e^{\alpha x}\sin \beta x,\cdots ,x^{k-1}{e}^{\alpha x}\cos \beta x,x^{k-1}{e}^{\alpha x}\sin \beta x$

^ea1a25

常系数线性非齐次方程

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

当非齐次项 $f(x)$ 为某些特殊形式时，可以待定系数法 注意：非齐次项为 $f(x)+g(x)+\cdots$ 形式时，可以拆分出多个待定特解，分别求出

多项式情况

$$f(x)=(b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}x+b_m)e^{\lambda x}$$

^ba7468

• 多项式与指数函数乘积仍为此形式

太长不看

$$y^{\ast }=x^k(B_0{x}^m+B_1{x}^{m-1}+\cdots +B_{m-1}x+B_m)e^{\lambda x}$$

^a5129a

• 列出 $m+1$ 个线性方程，解出待定系数 $B_i$
• $k$ 为 $\lambda$ 与特征方程 $r_2+pr+q=0$ 根的重数 $0,1,2$

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设特解形式为 $y^{\ast }=P(x)e^{\lambda x}$

• $(y^{\ast }{)}^{\prime }=[P^{\prime }(x)+\lambda P(x)]e^{\lambda x}$
• $(y^{\ast }{)}^{″}=[P(x{)}^{″}+2\lambda P^{\prime }(x)+{\lambda }^{2}P(x)]e^{\lambda x}$ 代入可得 $P^{″}(x)+(2\lambda +p)P^{\prime }(x)+({\lambda }^2+p\lambda +q)P(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}x+b_m$ 故设特解形式为

$$y^{\ast }=x^k(B_0{x}^m+B_1{x}^{m-1}+\cdots +B_{m-1}x+B_m)e^{\lambda x}$$

• 阶数高于二阶也可使用，
• $f(x)$ 中 $\lambda ,b_i$ 为复数同样有效

三角函数 + 多项式形式

$$f(x)=[P(x)\cos \beta x+Q(x)\sin \beta x]{\mathrm{e}}^{\alpha x}$$

$P(x),Q(x)$ 为最高次为 $m$ 的实多项式 ^e1c69f

太长不看

$$y^{\ast }=x^k[A(x)\cos \beta x+B(x)\sin \beta x]{\mathrm{e}}^{\alpha x}$$

^9c83e0

• $k$ 为 $\alpha +\beta i$ 作为特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的根的重数 $0,1$
• $A(x),B(x)$ 为 $m$ 次待定多项式

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三角函数化为复指数函数

$$\cos \beta x=\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\beta x}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\beta x}}{2},\sin \beta x=\frac{\mathrm{i}({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\beta x}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\beta x})}{2}$$

于是

$$f(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\alpha x-\mathrm{i}\beta x}[P(x)+\mathrm{i}Q(x)]+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\alpha x+\mathrm{i}\beta x}[P(x)-\mathrm{i}Q(x)]$$

欧拉方程

二阶

$$x^2{y}^{″}+px{y}^{\prime }+qy=0$$

设 $x=e^t$，$x{y}^{\prime }={\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{x}^2{y}^{″}={\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}$

$${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}}+(p-1){\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}+qy=0$$

记微分算子 $D={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}$，有 $[D(D-1)+pD+q]y=0$，特征方程为 $$r(r-1)+pr+q=0$$ 可依此求出通解 最后进行代换 $t=\ln |x|$

高阶

$$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=0$$

代换得到

$$x^k{y}^{(k)}=D(D-1)\cdots +(D-k+1)y$$