平面方程

与平面垂直的非零向量 $\vec{n}$ 为该平面的法向量， $\pm {\vec{n}}^{0}$ 为两个单位法向量

表示方法

点法式方程

过平面一点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$ ，则对于平面 $Π$ 上的任意一点 $M (x, y, z)$ ， $\vec{M_{0} M} \cdot \vec{n} = 0$ ，有

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0

点法式向量方程

${\vec{r}}_{0} = \vec{O M_{0}}, \vec{r} = \vec{O M}$ ，则有

(\vec{r} - {\vec{r}}_{0}) \cdot \vec{n} = 0

平面一般式方程

A x + B y + C x + D = 0

$A = 0$ 时与 $x$ 轴平行，等等

平面截距式方程

当 $A, B, C, D \neq 0$ ，平面在 $x, y, z$ 轴上的截距分别为 $a, b, c$ ，可以写成

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

平面标准式方程

平面 $Π$ 过 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且与两不共线的向量 $(u_{1}, u_{2}, u_{3}), (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ 平行，则由 $[\vec{M M_{0}}, \vec{u}, \vec{v}] = 0$

| \begin{array}{ccc} x - x_{0} & y - y_{0} & z - z_{0} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array} | = 0

平面三点式方程

| \begin{array}{ccc} x - x_{1} & y - y_{1} & z - z_{1} \\ x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ x_{3} - x_{1} & y_{3} - y_{1} & z_{3} - z_{1} \end{array} | = 0

平面方程运算

平面间距离

$\begin{aligned} Π_{1} ∥ Π_{2} & ⟺ \vec{n_{1}} ∥ \vec{n_{2}} ⟺ \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} \\ Π_{1} ⊥ Π_{2} & ⟺ \vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \\ ⟺ A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0 \end{aligned}$

\cos θ = \frac{| \vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |} = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} |}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} \cdot \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}

平面间距离

两平行平面 $Π_{1} : A x + B y + C z + D_{1} = 0, Π_{2} : A x + B y + C z + D_{2} = 0$ 之间的距离

d (Π_{1}, Π_{2}) = \frac{| D_{2} - D_{1} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

点到平面距离

$P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 到平面 $Π : A x + B y + C z + D = 0$ 的距离，其中 $N$ 为垂足， $P_{1}$ 为平面上任意一点， $\vec{n}$ 为平面的法向量

\begin{aligned} d (P_{0}, Π) & = | N P_{0} | = | (\vec{P_{1} P_{0}}) \vec{n} | \\ = \frac{| \vec{P_{1} P_{0}} \cdot \vec{n} |}{| \vec{n} |} \\ = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} . \end{aligned}

空间直线方程

方向向量 $\vec{s} = (m, n, p)$

表示形式

参数式方程

直线过点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，方向向量为 $\vec{s} = (m, n, p)$ ，则参数式方程$$\begin{cases}x=x_0+tm\y=y_0+tn\z=z_0+tp\end{cases},t\in\mathbb R$$

标准式方程

上述可以化为

\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}

两点式方程

直线过 $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}), M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，可以有方向向量 $\vec{s} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$

\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}

一般式方程（两平面的交）

直线是两非平行平面 $Π_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0, Π_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ 的交联立得

{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{cases} ({\vec{n}}_{1} ∦ {\vec{n}}_{2}, \vec{l} ∥ {\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2})

方程互化

一般式到点向式（标准式）

由于两个平面的法向量与直线都垂直，则

\vec{s} = {\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2}

随便在直线上取一点，则可以找到点向式方程

平面束方程

过某一直线 $l$ 的所有平面的集合被称为平面束

μ (A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1}) + λ (A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2}) = 0

$μ, λ$ 为参数
可以通过直线外一点与直线确定平面
用于已知两平面交线的问题
当 $μ \neq 0$ ，可以约去一个参数成为单参数方程
- 缺少了一个平面，需要验算防止漏解

平面空间运算

点到直线距离

1. 作垂直

在直线上设垂足，利用内积为零求出垂足，进而算出距离

2. 叉乘运算

设直线过点 $P_{0}$ 且方向向量为 $\vec{s}$ ，则利用叉乘几何意义

d (P_{1}, l) = \frac{| \vec{s} \times \vec{P_{0} P_{1}} |}{| \vec{s} |}

平行四边形面积除以底

3. 计算垂足

$P_{0} \in l, P_{1} \notin l$ ，垂足坐标表示：

H = P_{0} + {proj}_{\vec{s}} \vec{P_{0} P_{1}} = P_{0} + \frac{\vec{P_{0} P_{1}} \cdot \vec{s}}{\vec{s} \cdot \vec{s}} \vec{s}

直线间夹角

$l_{1} : M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}), {\vec{s}}_{1} = (m_{1}, n_{1}, p_{1})$ $l_{2} : M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2}), {\vec{s}}_{2} = (m_{2}, n_{2}, p_{2})$ 夹角

φ = min {(\hat{{\vec{s}}_{1}, {\vec{s}}_{2}}), π - (\hat{{\vec{s}}_{1}, {\vec{s}}_{2}})}

\cos φ = \frac{}{\sqrt{m_{1}^{2} + n_{1}^{2} + p_{1}^{2}} \cdot \sqrt{m_{2}^{2} + n_{2}^{2} + p_{2}^{2}}}

共面： $[{\vec{s}}_{1}, {\vec{s}}_{2}, \vec{M_{1} M_{2}}] = 0$
平行： ${\vec{s}}_{1} | | {\vec{s}}_{2} ⟺ \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}$
垂直： ${\vec{s}}_{1} \cdot {\vec{s}}_{2} = 0$

直线间距离

注：这两个直线不一定平行

1. 求出垂足

分别设两个垂足 $H_{1}, H_{2}$ ，公垂线 $\vec{H_{1} H_{2}} ⊥ s_{1}, s_{2}$ ，利用内积求出待定系数

2. 利用混合积

d = \frac{| ({\vec{s}}_{1} \times {\vec{s}}_{2}) \cdot \vec{M_{1} M_{2}} |}{| {\vec{s}}_{1} \times {\vec{s}}_{2} |}

3. 直接求公垂线

作平面 $Π_{1}$ 过 $M_{1}$ ，且与 ${\vec{s}}_{1}, {\vec{s}}_{1} \times {\vec{s}}_{2}$ 平行（生成一个过 $l_{1}$ 且与 $l_{1}, l_{2}$ 所在平面垂直的平面）作平面 $Π_{2}$ 过 $M_{2}$ ，且与 ${\vec{s}}_{2}, {\vec{s}}_{1} \times {\vec{s}}_{2}$ 平行两平面联立则为公垂线

平面直线空间运算

直线 $l$ 过 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}), \vec{s} = (m, n, p)$ 平面 $Π : A x + B y + C z + D = 0$ 则两者夹角 $ψ = | \frac{π}{2} - (\hat{\vec{s}, \vec{n}}) | \in [0, \frac{π}{2}]$

\sin ψ = \frac{| \vec{s} \cdot \vec{n} |}{| \vec{s} | | \vec{n} |}

平面方程 ​

表示方法 ​

点法式方程 ​

点法式向量方程 ​

平面一般式方程 ​

平面截距式方程 ​

平面标准式方程 ​

平面三点式方程 ​

平面方程运算 ​

平面间距离 ​

平面间距离 ​

点到平面距离 ​

空间直线方程 ​

表示形式 ​

参数式方程 ​

标准式方程 ​

两点式方程 ​

一般式方程（两平面的交） ​

方程互化 ​

一般式到点向式（标准式） ​

平面束方程 ​

平面空间运算 ​

点到直线距离 ​

1. 作垂直 ​

2. 叉乘运算 ​

3. 计算垂足 ​

直线间夹角 ​

直线间距离 ​

1. 求出垂足 ​

2. 利用混合积 ​

3. 直接求公垂线 ​

平面直线空间运算 ​

平面方程

表示方法

点法式方程

点法式向量方程

平面一般式方程

平面截距式方程

平面标准式方程

平面三点式方程

平面方程运算

平面间距离

平面间距离

点到平面距离

空间直线方程

表示形式

参数式方程

标准式方程

两点式方程

一般式方程（两平面的交）

方程互化

一般式到点向式（标准式）

平面束方程

平面空间运算

点到直线距离

1. 作垂直

2. 叉乘运算

3. 计算垂足

直线间夹角

直线间距离

1. 求出垂足

2. 利用混合积

3. 直接求公垂线

平面直线空间运算