2.2 离散型随机变量及其分布律

Summary

二项分布 (Binomial distribution) $X\sim B(n,p)$

$$P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n$$

二项分布的极限是泊松分布: 当 $n\ge 20,p\le 0.05$,

$$P(X>N)=\sum _{k=N+1}^{n}P(X=k)\approx \sum _{k=N+1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-np}{\displaystyle \frac{(np{)}^k}{k!}}=1-\sum _0^N{\mathrm{e}}^{-np}{\displaystyle \frac{(np{)}^k}{k!}}$$

泊松分布 (Poisson distribution) $X\sim P(\lambda )\text{ or }\pi (\lambda )$

$$P(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}},k=0,1,2,\cdots$$

负二项分布 (Pascal 分布) 进行一个试验直到成功 $r$ 次, 试验进行了 $k$ 次的分布律

$$P(X=k)={\mathrm{C}}_{r-1}^{k-1}{p}^r(1-p{)}^{k-r},k=r,r+1,\cdots$$

几何分布 当 $r=1$, 有几何分布 $X\sim G(p)$

离散型随机变量概率分布

随机变量 $X$ 的可能取值是有限个或可列无穷多个

分布律

设离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $X=x_k(k=1,2,\cdots )$, 不妨设 $x_1<x_2<\cdots$, 则 $X$ 的分布律为

$$P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots$$$$\overline{)\begin{array}{cccccc}X& x_1& x_2& \cdots & x_k& \cdots \\ P& p_1& p_2& \cdots & p_k& \cdots \end{array}}$$

性质

只要满足以下性质即可满足为某随机变量的分布律

1. $$p_k\ge 0,k=1,2,\cdots$$
2. $$\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{p}_k=1$$

得到分布律即可得到分布函数

$$F(x)=P(X\le x)=\sum _{x_k\le x}P(X=x_k)$$$$P(X=x_k)=p_k=P(x_{k-1}<X\le x_k)=F(x_k)-F(x_{k=1})$$

• $F(x)$ 为分段阶梯函数
• 在 $X$ 的可能取值处间断, 第一类跳跃间断

常见离散型随机变量

0-1分布 (两点分布)

随机变量只有两个可能取值, 分布律由下表所示

$$\overline{)\begin{array}{ccc}X& 1& 0\\ P& p& 1-p\end{array}}$$

其中 $0<p<1$, 称 $X$ 服从参数为 $p$ 的 $\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{1}$ 分布

也可写成

$$P(X=k)=p^k(1-p{)}^{1-k},k=0,1$$

二项分布 (伯努利概型)

$n$ 重 Bernoulli 试验:

1. 可独立地进行 $n$ 次 (可能性互不影响)
2. 每次试验的结果仅两个, $A$ 和 $\bar{A}$

对应的概型为 Bernoulli 概型

$n$ 重 Bernoulli 试验中, 设一次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=p(0<p<1)$, 则事件 $A$ 发生次数 $X$ 的分布律为

$$P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n$$

称 $X$ 服从参数为 $(n,p)$ 的二项分布, 记为 $X\sim B(n,p)$

• $$P(X>N)=\sum _{k=N+1}^{n}P(X=k)$$

超几何分布的极限分布是二项分布

负二项分布 (Pascal 分布)

进行一个试验直到成功 $r$ 次, 试验进行了 $k$ 次的分布律

$$P(X=k)={\mathrm{C}}_{r-1}^{k-1}{p}^r(1-p{)}^{k-r},k=r,r+1,\cdots$$

几何分布

当 $r=1$, 有几何分布 $X\sim G(p)$

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots$$

求出最可能出现的次数

$P(X=k)>P(X=j)$, $j$ 为 $X$ 可取的一切值, 则 $k$ 为最可能出现的次数

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{P_{k-1}}{P_k}}={\displaystyle \frac{(1-p)k}{p(n-k+1)}}\le 1,\\ {\displaystyle \frac{P_k}{P_{k+1}}}={\displaystyle \frac{(1-p)(k+1)}{p(n-k)}}\ge 1,\end{array}⟹(n+1)p-1\le k\le (n+1)p$$

Poisson 分布

Poisson 定理

假设 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}n{p}_n=\lambda >0$, 则

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{C}}_n^k{p}_n^k(1-p_n{)}^{n-k}={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}},k=0,1,2,\cdots$$

推论

假设 $n{p}_n=\lambda >0(n=1,2,\cdots )$, 则上述公式仍成立

二项分布的极限分布是 Poisson 分布

当二项分布 $n$ 较大而 $p$ 较小时 ($n\ge 20,p\le 0.05$), 有如下近似

$$P(X>N)=\sum _{k=N+1}^{n}P(X=k)\approx \sum _{k=N+1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-np}{\displaystyle \frac{(np{)}^k}{k!}}=1-\sum _0^N{\mathrm{e}}^{-np}{\displaystyle \frac{(np{)}^k}{k!}}$$

最后的那个值可查泊松分布表

Poisson 分布

推导过程

Poisson 定理中, ${\mathrm{e}}^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}>0,$

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}& ={\mathrm{e}}^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}\\ & ={\mathrm{e}}^{-\lambda }(1+\lambda +{\displaystyle \frac{{\lambda }^2}{2!}}+\cdots )\\ & ={\mathrm{e}}^{-\lambda }\cdot {\mathrm{e}}^{\lambda }\\ & =1\end{array}$$

由此产生了 Poisson 分布

设随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,\cdots$, 且分布律为

$$P(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}},k=0,1,2,\cdots$$

其中 $\lambda >0$,

称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的 Poisson 分布, 记为 $X\sim P(\lambda )$ 或 $\pi (\lambda )$

实际应用

当⼀个随机事件以固定的平均瞬时速率 $\lambda$ (或称密度) 随机且独⽴地出现时, 那么这个事件在⼀段时间 (⼀定⾯积或体积) 内出现的次数 服从 (或者说近似服从) Poisson 分布