8.2 单个正态总体参数的假设检验

单个正态总体均值的假设检验

方差已知 (U 检验法)

检验统计量：

$$U=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域
$\mu ={\mu }_0$	$\mu \ne {\mu }_0$	$\mid U\mid \ge z_{\frac{\alpha }{2}}$
$\mu \ge {\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	$U\le -z_{\alpha }$
$\mu \le {\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	$U\ge z_{\alpha }$

方差未知

小样本 ($n<30$) 情况下，用 t 分布来检验总体均值，通常称为 t 检验，统计量

$$T=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域
$\mu ={\mu }_0$	$\mu \ne {\mu }_0$	$\mid T\mid \ge t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)$
$\mu \ge {\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	$T\le -t_{\alpha }(n-1)$
$\mu \le {\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	$T\ge t_{\alpha }(n-1)$

单个正态总体方差的假设检验

均值已知

选取检验统计量

$${\chi }^2=\frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-\mu )}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n)$$

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域
${\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$	${\chi }^2\ge {\chi }_{\frac{\alpha }{2}}(n)$ 或 ${\chi }^2\le {\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}(n)$
${\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2<{\sigma }_0^2$	${\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha }(n)$
${\sigma }^2\le {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2>{\sigma }_0^2$	${\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha }(n)$

均值未知

选取检验统计量

$${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域
${\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$	${\chi }^2\ge {\chi }_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)$ 或 ${\chi }^2\le {\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}(n-1)$
${\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2<{\sigma }_0^2$	${\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha }(n-1)$
${\sigma }^2\le {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2>{\sigma }_0^2$	${\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha }(n-1)$

随机事件概率 p 的假设检验

选取检验统计量

$$U=\frac{\overline{X}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\stackrel{\text{ 近似 }}{\sim }N(0,1)$$

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域
$p=p_0$	$p\ne p_0$	$\mid U\mid \ge z_{\frac{\alpha }{2}}$
$p\ge p_0$	$p<p_0$	$U\le -z_{\alpha }$
$p\le p_0$	$p>p_0$	$U\ge z_{\alpha }$